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Exercícios Resolvidos de Valor Médio de uma Função

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Exercício 51234678910111213

Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 13

Encontre a coordenada x do centróide da área limitada por y ( x 2 - 9 )   = 1   ;   y = 0 ;   x = 4   e   x = 5

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo encontrar o centróide (centro de massa) dada área limitada por y ( x 2 - 9 )   = 1   ;   y = 0 ;   x = 4   e   x = 5

Eita, mas qual é a definição de centróide de uma região mesmo?

Vamos revisar, pois é um conceito simples, porém um pouco delicado. Vamos nessa!!!

Passo 2

O Centróide de uma região definida por uma função e o eixo x é o ponto ( x ̄ , y ̄ ) onde:

x ̄   =   ∫ R x d A   / ∫ R d A  

com

d A   =   y d x

e

y ̄   =   ∫ R y 2 d A   / ∫ R d A  

Meme confuso

Vamos analisar cada parte dessas equações com calma.

O que seria ∫ R d A ? Bem Isso é a área da nossa região, ou seja, a área abaixo da curva   y ( x 2 - 9 ) = 1 no domínio de interesse, que no nosso caso temos 4 ≤ x ≤ 5 .

Então o nosso ponto ( x ̄ , y ) ̄ seria uma “média” ponderada pela área da região, o que faz sentido para uma definição de centróide (centro de massa com densidade constante em toda região)

Agora que revisamos as fórmulas, vamos aplicar.

Passo 3

Agora que relembramos a fórmula, vamos aplicar!!! Vamos obter a área da nossa região:

A   = ∫ R y d x  

Como

y ( x 2 - 9 ) = 1

⇒ y = 1 ( x 2 - 9 )

Logo

A = ∫ 4 5 1 ( x 2 - 9 ) d x

Para resolver essa questão integral, precisamos utilizar frações parciais. Para isso queremos que

1 ( x 2 - 9 )   =   A ( x + 3 ) + B ( x - 3 )

Podemos notar que se tomarmos A = - 1 / 6 e B = 1 / 6 , satisfazemos a igualdade acima, então

∫ 4 5 1 ( x 2 - 9 ) d x = 1 6 ∫ 4 5 - 1 ( x + 3 ) + 1 ( x - 3 ) d x

Mas essas integrais são conhecidas

temos:

1 6 ∫ 4 5 - 1 ( x + 3 ) + 1 ( x - 3 ) d x =   1 6 ( - l n ( x + 3 ) + l n ( x - 3 ) ) | x = 5 x = 4

aplicando os limites de integração

= 1 6 ( - l n ( 8 ) + l n ( 2 ) - l n ( 7 ) )

juntando os logs

= 1 6 ( l n ( 7 4 ) )

Com isso descobrimos área da nossa região. Agora vamos obter a coordenada x do centróide

Passo 4

Vamos calcular x ̄ . Como vimos no passo 1, temos:

x ̄   =   ∫ R x d A   / ∫ R d A  

=   ∫ R x y d x   / ∫ R y d x  

Sabemos que y é a nossa função, então

=   ∫ 4 5 x ( 1 x 2 - 9 ) d x   / ( 1 6 ( l n ( 7 4 ) ) )  

=   6 ∫ 4 5 ( x x 2 - 9 ) d x   / ( l n ( 7 4 ) ) )  

mas essa integral é conhecida

temos que:

∫ 4 5 ( x x 2 - 9 ) d x   =   1 2 l n ( x 2 - 9 ) | x = 4 x = 5

= 1 2 ( l n ( 16 7 ) )

Juntando tudo temos que:

x ̄   = 6 ∫ 4 5 ( x x 2 - 9 ) d x   / ( l n ( 7 4 ) ) )

= 6 2 ( l n ( 16 7 ) ) / ( l n ( 7 4 ) ) )

=   3 l n ( 16 7 ) / l n ( 7 4 )

Prontinho, pessoal. Finalmente terminamos mais uma questão!!! Nessa questão revisamos a definição de centróide de uma região e como calcular. Deu para ver que dependendo da região os cálculos ficam bem extensos. Mas não desanimem, pois é uma oportunidade de treinar as nossas técnicas de integração .Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão!!!

Resposta

  3 l n ( 16 7 ) / l n ( 7 4 )

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