Exercícios Resolvidos de Valor Médio de uma Função

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Enunciado

Encontre o valor médio da função no intervalo dado

f x = cos 4 ⁡ x sen ⁡ x     [ 0 , π ]

Passo 1

Novamente, queremos o valor médio da função em dado intervalo. Vamos novamente aplicar a fórmula.

V a l o r   m é d i o = 1 b - a   ∫ a b h x d x

V a l o r   m é d i o = 1 π - 0   ∫ 0 π cos 4 ⁡ x   s e n   x d x

Passo 2

A integral

∫ cos 4 ⁡ x   s e n   x   d x

Sai pelo método da substituição simples:

u = c o s x → d u = - sen ⁡ x d x

s e n   x   d x =   - d u

∫ cos 4 ⁡ x   s e n   x   d x = ∫ - u 4   d u

= - u 5 5

Voltando para x :

∫ cos 4 ⁡ x   s e n   x   d x = - cos 5 ⁡ x 5

Passo 3

Agora podemos substituir os valores:

V a l o r   m é d i o = 1 π - 0   ∫ 0 π cos 4 ⁡ x   s e n   x d x

V a l o r   m é d i o = 1 π - cos 5 ⁡ x 5 π 0  

V a l o r   m é d i o = 1 π - cos 5 ⁡ x 5 π 0  

V a l o r   m é d i o = 1 π - - 1 5 5 - 1 5 5  

V a l o r   m é d i o = 1 π - - 1 5 - 1 5  

V a l o r   m é d i o = 2 5   π

Resposta

V a l o r   m é d i o = 2 5   π

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