Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t = 0 e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de r ( t ) = 100 e - 0,01 t litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom...a questão nos diz que um vazamento de petróleo de um tanque ocorre a uma taxa de r ( t ) = 100 e - 0,01 t , onde t é o tempo dado em minutos.

Queremos descobrir quantos litros de petróleo vazou na primeira hora.

Para isso, a quantidade Q de petróleo vazado em uma hora pode ser encontrada pelo produto entre a taxa de vazamento e o tempo a cada instante, de 0 a 60 minutos (uma hora).

Dessa forma, basta aplicarmos a função r t na integral com limites de 0 a 60 .

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... aplicando o problema na integral e resolvendo, temos:

Q = ∫ 0 60 100 e - 0,01 t   d t

Fazendo a substituição u = - 0,01 t ∴ d u = - 0,01   d t , temos:

Q = - 1 0,01 ∫ 0 60 100 e u d u ∴

Q = - 100 0,01 e - 0,01 t 60 0 ∴

Q = 4511,9   l i t r o s

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Q = 4511,9   l i t r o s

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