Encontre o vetor normal para a curva

r(t) = cos^3(t) * i + sen^3(t) * j, 0 ≤ t ≤ π/2

Passo 1

Bom, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar o vetor tangente:

v t → = r ' ( t ) = 3 ( - s e n   t ) c o s ² t ,   3 cos ⁡ t s e n ² t = ( - 3 s e n ( t ) c o s ² ( t ) , 3 c o s ⁡ ( t ) s e n ² ( t ) )

v t → = - 3 s e n ( t ) c o s ² ( t ) 2 + 3 cos ⁡ t s e n 2 t 2 = 9 s e n 2 t c o s 4 t + 9 c o s 2 t s e n 4 t

v t → = 9 c o s ² t s e n ² t ( c o s 2 t + s e n 2 t ) = | 3 c o s ⁡ ( t ) s e n ( t ) |

Como 0 ≤ t < π 2 , cos ⁡ t e sin ⁡ t são maiores que zero, então podemos esquecer o módulo

v → t = 3 cos ⁡ t sen ⁡ t

Passo 2

Dividir o vetor tangente pelo seu módulo para encontrar o vetor tangente unitário:

T → t = v t → v t → = ( - 3 s e n ( t ) c o s ² ( t ) , 3 c o s ⁡ ( t ) s e n ² ( t ) ) 3 c o s ⁡ ( t ) s e n ( t ) = - cos ⁡ t , s e n   t

Passo 3

Agora derivamos o vetor tangente unitário:

T → ' t = ( s e n   t ,   cos ⁡ t )

E calculamos seu módulo:

T → ' t = s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 = s e n 2 t + c o s 2 t = 1

Passo 4

Fim da questão: é só substituir na fórmula:

N → = T → ' t T → ' t

N → = ( s e n   t ,   cos ⁡ t ) 1 = ( s e n   t ,   cos ⁡ t )

Resposta

N → = ( s e n   t ,   cos ⁡ t )

Exercícios Resolvidos de Vetor Normal

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