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Exercícios Resolvidos de Vetor Normal

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Exercício 412356789

Enunciado

Origem do Exercício

Encontre um vetor normal à curva r t = cos ⁡ t + t sen ⁡ t i + sen ⁡ t - t cos ⁡ t j + 3 k

  1. - sen ⁡ t i - cos ⁡ t j
  2. - sen ⁡ t i + cos ⁡ t j - k
  3. - sen ⁡ t - cos ⁡ t i + cos ⁡ t j
  4. - sen ⁡ t i + cos ⁡ t j
  5. - sen ⁡ t i + cos ⁡ t j + k

Passo 1

Lembre so seguinte, quando queremos achar um vetor normal a uma curva, precisamos na verdade achar um vetor normal à tangente da curva!

Mas quem é a tangente de uma curva r t → ? Exatamente, é o vetor velocidade dela!

v t → = d d t r t →

v t → = d d t cos ⁡ t + t sen ⁡ t i + sen ⁡ t - t cos ⁡ t j + 3 k

Lembrando que para derivar um vetor, nós precisamos derivar cada uma das componentes!

Passo 2

Vamos então calcular essas três derivadas em relação a t :

d d t r x = d d t cos ⁡ t + t . sen ⁡ t = d d t cos ⁡ t + d d t t . sen ⁡ t

A primeira podemos fazer direto, mas a segunda exige a aplicação da regra do produto:

d d t cos ⁡ t + d d t t . sen ⁡ t = - sen ⁡ t + t d d t sen ⁡ t + sen ⁡ t d d t t = - sen ⁡ t + t cos ⁡ t + sen ⁡ t

d d t r x = t cos ⁡ t

Agora vamos fazer uma coisa bem parecida para a componente y :

d d t r y = d d t sen ⁡ t - t cos ⁡ t = d d t s en ⁡ t - d d t t . cos ⁡ t

d d t sen ⁡ t - d d t t cos ⁡ t = cos ⁡ t - t d d t cos ⁡ t - cos ⁡ t d d t t = cos ⁡ t + t sen ⁡ t - cos ⁡ t

d d t r y = t sen ⁡ t

E a componente z :

d d t r z = d d t 3 = 0

Então nosso vetor velocidade é:

v t → = t cos ⁡ t , t sen ⁡ t , 0

O vetor normal à curva precisa ser normal a esse vetor! Em outras palavras, o produto interno do vetor normal com v t → precisa ser zero!

Passo 3

Vamos expressar então essa condição para o vetor normal n → :

n → ∙ v → = 0

n x , n y , n z ∙ t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t , 0 = 0

n x ( t cos ⁡ t ) + n y   ( t sen ⁡ t ) = 0

Existem infinitos vetores que atendem essa exigência, então se quisermos responder a questão precisamos ver qual das opções que foram dadas serve.

Se a resposta não for clara pra você, não tem estresse, pode testar uma por uma.

Só pra ficar bem provado, vamos ver que a letra (d) é a que funciona. Nesse caso:

n x = - sen ⁡ t

n y = cos ⁡ t

Então:

n x t cos ⁡ t + n y   t sen ⁡ t = - sen ⁡ t t cos ⁡ t + cos ⁡ t t sen ⁡ t = 0

Ou seja, o produto interno realmente dá zero, e esse vetor realmente é normal à curva!

Resposta

Letra (d).

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