Encontre um vetor normal à curva .

Começando com o vetor velocidade. Para encontrá-lo, precisamos achar a derivada do vetor :

Para derivar um vetor, precisamos derivar cada uma das componentes:

A componente é mais fácil de derivar. Como é uma constante, sua derivada é zero:

Nas outras duas derivadas, precisamos usar a regra do produto. Começando com :

E agora :

Então nosso vetor velocidade é:

Ok, achamos o vetor velocidade. Agora como fazemos para encontrar o vetor normal a ele?

Talvez você se lembre das suas aulas de geometria analítica, que dois vetores são normais um ao outro quando seu produto interno é nulo. Lembra como se calcula o produto interno entre dois vetores?

Então vamos calcular o produto interno entre o vetor velocidade e um vetor qualquer, e exigir que o produto interno seja zero:

Como é sempre diferente de zero, podemos dividir por dos dois lados:

Beleza, essa é a condição para que um vetor qualquer seja normal à curva em um ponto .

Agora vamos montar uma fórmula geral para esse vetor normal.

Nossa condição não faz nenhuma exigência em relação ao valor de , então podemos fixar qualquer valor para ele. Por exemplo, .

Só temos exigências em relação a e , que devem manter uma certa relação entre eles:

Qualquer par de valores serve, desde que siga essa condição. Podemos fixar um valor qualquer para o , e teremos definido o . Se escolhermos, por exemplo, , nosso vetor normal será:

Em qualquer ponto !

Esse é um vetor normal à curva, mas existem infinitas possibilidades! É só ir ajustando as constantes que nós escolhemos arbitrariamente.