UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Karla Spatti - Lista 5 - P2, Questão 7b
Obtenha um vetor normal ao plano em cada caso:
b)
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente calcular um vetor normal ao plano dado pela equação vetorial
Da equação acima, vemos que o plano X é paralelo ao plano X’ dado pela equação vetorial:
Portanto, podemos encontrar um vetor normal à X encontrando um vetor normal à X’. As componentes de todos os pontos que estão contidos em X’ são da forma
Onde são dois parâmetros reais. Então, queremos encontrar um vetor que é perpendicular todos os vetores da forma , que são os vetores contidos em X’. Então, para encontrar as componentes a, b e c, vamos fazer o produto escalar e exigir que isso seja nulo! Então bora lá!
Passo 2
Como queremos que seja perpendicular aos vetores da forma , temos que o produto escalar entre esses vetores deve ser nulo:
Então, temos
Como são parâmetros arbitrários, a única forma da equação acima ser sempre nula é se
e
Das equações acima, obtemos as restrições e
Então, os vetores perpendiculares ao plano X’, são da forma
Onde c é um parâmetro real arbitrário, pois se (1, 2, 1) é perpendicular à X’, qualquer múltiplo seu também será. Então, como X e X’ são planos paralelos, temos que um vetor normal ao plano X é