Origem do Exercício
Encontre um vetor normal à curva
Passo 1
Concorda que se o nosso vetor vai ser normal à curva ele também precisa ser normal ao vetor tangente à curva? Isso quer dizer que nossa resolução vai ter dois passos:
- Achar o vetor tangente à curva.
- Achar o vetor perpendicular ao vetor tangente.
Então vamos lá.
Passo 2
A gente sabe encontrar um vetor tangente a uma curva. É só calcular a derivada da função . Para isso, precisamos derivar cada uma das componentes.
Na componente , vamos ter que usar a regra do produto:
E o mesmo acontece na componente :
A componente é mais fácil:
Ou seja, nosso vetor tangente é:
Passo 3
Agora como podemos fazer para achar um vetor normal a esse? Matematicamente, qual é a melhor forma de verificar que dois vetores são normais um ao outro? Exigir que o produto interno seja nulo!
Lembrando que o produto interno de dois vetores é calculado assim:
Ou seja, estamos em busca de um vetor que atenda a seguinte exigência:
Aplicando a fórmula do produto interno:
Passo 4
Ok, agora nós sabemos que a condição para que um vetor seja normal à curva é:
Como o enunciado pediu “um vetor”, sem especificar em qual ponto, vamos supor que para podermos dividir tudo por :
Uma solução bem clara para essa equação é:
E isso é justamente o que está na letra (e), portanto vai ser a nossa resposta. Se você não percebeu essa solução logo de cara não tem problema, você pode ir testando as opções para ver qual delas atende à condição!
Resposta
Letra (e).