Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Planos

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Enunciado

Ache a medida θ do ângulo entre os planos

π 1 : x - y + z = 20       e       π 2 : x + y + z = 0

Passo 1

Já calculamos ângulo entre reta e ângulo entre reta e plano! Chegou a vez de calcular o ângulo entre planos!! Chegou a hora de resolvermos o problema lá da teoria, lembra?? Da rampa de acesso para cadeirante!! ;)

O enunciado nos fornece os dados como queremos, ou seja, a equação geral dos planos para que já possamos tirar qua lo vetor normal deles.

Passo 2

Primeiro, vamos retirar das equações qual o vetor normal de cada plano:

n 1 → = 1 ,   - 1 ,   1

n 2 → = 1 ,   1 ,   1

Tendo os vetores, vamos ver o que precisamos para usar a fórmula:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → | n 2 → |

Passo 3

Olhando a fórmula precisamos do módulo do produto escalar entre os vetores, e o módulo deles:

n 1 → ∙ n 2 → = 1 ,   - 1 ,   1 ∙ 1 ,   1 ,   1 = | 1 - 1 + 1 | = 1

n 1 → = 1 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = 3

| n 2 → | = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Colocando os valores na fórmula, temos:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → n 2 → → cos ⁡ θ = 1 3 3 = 1 3

θ = cos - 1 ⁡ 1 3

Resposta

θ = cos - 1 ⁡ 1 3

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