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Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Planos

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Exercício 213456789

Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano π , que contém a reta

r :   x - 2 y + 2 z = 0 3 x - 5 y + 7 z = 0

E forma com o plano π 1 : x + z = 0 um ângulo de 60 ° .

Passo 1

Nossa!! Não sei nem por onde começar!!

Calma, pequeno gafanhoto!! Vamos por partes!!

Primeiro, se a gente olhar para forma em que a reta r está escrita, vamos ver que ela é formada pela intereseção de dois planos, sendo eles (os planos):

x - 2 y + 2 z = 0 3 x - 5 y + 7 z = 0

Assim sendo, o plano em que a reta está contida (que é o que queremos descobrir) é a combinação linear dessas duas expressões, ou seja:

α x - 2 y + 2 z + β 3 x - 5 y + 7 z = 0

Essa é a equação geral do plano que queremos descobrir. Escrevendo a equação de forma a isolar as coordenadas, temos:

x α + 3 β + y - 2 α - 5 β + z 2 α + 7 β = 0

Passo 2

Com a expressão x α + 3 β + y - 2 α - 5 β + z 2 α + 7 β = 0 sabemos que os coeficientes da equação geral do plano que queremos descobrir é:

a = α + 3 β

b = - 2 α - 5 β

c = 2 α + 7 β

d = 0

Com essas informações conseguimos obter as coordenadas do vetor normal ao plano!

n → = ( α + 3 β ,   - 2 α - 5 β ,   2 α + 7 β )    

Passo 3

Agora, para descobrimos o valor de α e β vamos usar a segunda informação que temos: que o plano π forma 60 ° com o plano π 1 . A fórmula do ângulo entre planos é:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n → n 1 → | n → |

Temos:

n → = ( α + 3 β ,   - 2 α - 5 β ,   2 α + 7 β )    

n 1 → = ( 1 ,   0 ,   1 )

θ = 60 ° → cos ⁡ 60 ° = 1 2

Calculando o produto interno entre os vetores normais e o módulo dos vetores:

n 1 → ∙ n 2 → = ( α + 3 β ,   - 2 α - 5 β ,   2 α + 7 β )     ∙ 1 ,   0 ,   1 = | α + 3 β + 2 α + 7 β | = | 3 α + 10 β |

n → = ( α + 3 β ) 2 + ( - 2 α - 5 β ) 2 + ( 2 α + 7 β ) 2 = 9 α 2 + 54 α β + 83 β 2

n 1 → = 1 2 + 1 2 = 2

Subsituindo na fórmula,

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n → n 1 → | n → | → 1 2 = 3 α + 10 β 2 9 α 2 + 54 α β + 83 β 2

Elevando os dois lados ao quadrado, chegamos na igualdade:

3 α 2 + 22 α β + 39 β 2 = 0

Resolvendo a equação de 2º grau acima em α , chegaremos que:

α = - 3 β           o u             α = - 13 3 β

Passo 4

Agora que temos α = - 3 β     o u     α = - 13 3 β , falta substituirmos em:

n → = ( α + 3 β ,   - 2 α - 5 β ,   2 α + 7 β )    

Substituindo α = - 3 β   , teremos:

n → = ( 0 ,   β ,   β )    

S e   β = 1 →   n → = ( 0 ,   1 ,   1 )    

Nossa equação geral do plano será y + z = 0

Já se α = - 13 3 β :

n → = - 4 3 β , 11 3 β ,   - 5 3 β →     n → = - 4 β , 11 β ,   - 5 β  

S e   β = 1 →   n → = ( - 4 ,   11 ,   - 5 )    

Nossa equação geral do plano será - 4 x + 11 y - 5 z = 0 → 4 x - 11 y + 5 z = 0

Assim, nosso plano tem duas equações possíveis:

y + z = 0         e           4 x - 11 y + 5 z = 0

Resposta

y + z = 0         e           4 x - 11 y + 5 z = 0

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