Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Planos

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Enunciado

Determinar o valor de m para que seja de 30 ° o ângulo entre os planos

π 1 : x + m y + 2 z - 7 = 0       e       π 2 : 4 x + 5 y + 3 z - 2 = 0

Passo 1

Tudo igual por enquanto! Vamos determinar os vetores normais:

n 1 → = 1 ,   m ,   2

n 2 → = ( 4 ,   5 ,   3 )

Passo 2

Agora a gente olha para fórmula e reflete

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → | n 2 → |

Refletiu?

Beleza, vamos em frente haha

Calculando os termos normalmente:

n 1 → ∙ n 2 → = 1 ,   m ,   2 ∙ 4 ,   5 ,   3 = 4 + 5 m + 6 = 10 + 5 m

n 1 → = 1 2 + m 2 + 2 2 = 5 + m 2

| n 2 → | = 4 2 + 5 2 + 3 2 = 50

O moço quer que o ângulo seja de 30 ° , logo cos ⁡ 30 = 3 2

Colocando os valores na fórmula, temos:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → n 2 → → 3 2 = 10 + 5 m 50 5 + m 2

3 2 = 10 + 5 m 250 + 50 m 2

Multiplicando cruzado,

750 + 150 m 2 = 20 + 10 m

Elevando os dois lados ao quadrado

750 + 150 m 2 = 400 + 400 m + 100 m 2

50 m 2 - 400 m + 350 = 0

Dividindo por 50

m 2 - 8 m + 7 = 0

m - 1 m - 7 = 0

Logo, m = 1 ou m = 7

Resposta

m = 1   o u   m = 7

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