Geometria Analítica – UFPE – 2° EE
Sejam os planos e .
- Escreva a equação geral do plano .
- Prove que os planos e são perpendiculares.
Passo 1
Vamos lá! Precisamos começar determinando a equação geral do plano . Mas antes disto, qual foi a forma dada para este plano na questão?
Nós precisamos identificar a forma dada para conseguir obter as informações necessárias para escrevermos a equação geral deste plano. Continuando então, a forma do plano dada na questão é a forma vetorial.
Nesta forma temos as coordenadas de um ponto pertencente ao plano e dois vetores diretores e do plano.
Se queremos escrever a equação geral do plano, queremos descobrir os valores das incógnitas tais que:
Começaremos então por identificar os valores de , que, por sinal, consistem nas coordenadas do vetor normal ao plano !
Então.... se obtivermos este vetor normal, teremos os valores dessas incógnitas! Eita, e como obtemos este vetor?????
Simples! Basta fazermos o produto vetorial dos vetores diretores do plano (que já foram dados e nós já identificamos!). Portanto,
Passo 2
Estamos quase acabando! Ao obtermos o vetor normal no final do passo anterior, obtivemos que , e . Portanto, a equação geral do plano é:
Só falta então identificarmos quem é esse ! E agora? O que fazer?
Vamos pensar no que nós tínhamos e no que faltou utilizar. Tínhamos 2 vetores diretores e as coordenadas de um ponto. Nós já usamos os vetores. Então... falta utilizar as coordenadas do ponto....
E é exatamente isto! Se o ponto pertence ao plano, significa que ele satisfaz a equação do plano! Então, a ideia é substituir suas coordenadas, isolar o valor de para descobri-o, e substitui-lo na equação geral do plano.
Primeiro vamos descobrir o . Então, substituindo as coordenadas de na equação do plano,
Por fim, a equação geral do plano é:
Passo 3
Para finalizarmos a questão, precisamos analisar se os dois planos são perpendiculares. Isto só ocorrerá se, e somente se, os vetores normais aos planos são ortogonais (formam ângulo de noventa graus).
O vetor normal ao plano nós já identificamos, que foi Já em relação ao segundo plano, basta analisarmos os coeficientes que multiplicam as variáveis . Neste caso, temos então o seguinte vetor normal .
Agora que temos os vetores, basta checarmos a ortogonalidade deles. Para isto, vamos utilizar a operação de produto interno! Relembrando, basta somar o produto da primeira coordenada de cada vetor com o produto da segunda coordenada de cada vetor com o produto da terceira coordenada de cada vetor. Logo,
Como este produto interno deu igual a zero, significa que os vetores são ortogonais.
Então, como os vetores normais dos dois planos são ortogonais, significa que os planos são perpendiculares!
Resposta
- A equação geral do plano é:
- Os dois planos são perpendiculares entre si.