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Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Planos

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Exercício 912345678

Enunciado

UFPE – Geometria Analítica – 2018.1 – P2 – Questão 3

Considere o plano σ 1 : x + y - z = 0 . Sabendo que n 2 → = ( 2 ,   1 ,   1 ) é um vetor normal ao plano σ 2 e que o ponto P = 2 ,   1 ,   3 ∈ σ 2 :

  1. Determine σ 1 ⋂ σ 2 em equações paramétricas.
  2. Determine o ângulo entre σ 1 e σ 2 .

Passo 1

  1. Aqui o que a gente tem que perceber é que P pertence ao plano σ 1 , porque, substituindo,

    2. 2 + 1 - 3 = 0

    Então beleza, P pertence aos dois planos e então P ∈ ( σ 1 ⋂ σ 2 ) . Agora vamos olhar pros vetores normais dos planos. Vou chamar de n 1 → o vetor normal ao plano σ 1 . Lá da equação:

    n 1 → = ( 1 ,   1 ,   - 1 )

    Como n 1 → ⋅ n 2 → = 2 , os planos são transversais, e portanto a interseção dos planos é uma reta! Essa reta é ao mesmo tempo contida nos dois planos, e está numa direção paralela aos dois ao mesmo tempo, e por isso, ela tem que ser perpendicular aos dois vetores normais ao mesmo tempo, sacou? Por isso, a reta tem diretor igual a n 1 → × n 2 → , que gera um vetor perpendicular aos dois.

    n → =   n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 1 - 1 2 1 1 = 2 i → - 3 j → - k →

    n → = ( 2 ,   - 3 ,   - 1 )

    E assim,

    σ 1 ⋂ σ 2 : X = P + t n → = 2 ,   1 ,   3 + t ( 2 ,   - 3 ,   - 1 )

    As equações paramétricas são:

    σ 1 ⋂ σ 2 :   x = 2 + 2 t y = 1 - 3 t z = 3 - t

    Passo 2

  2. O ângulo entre os planos é igual ao ângulo entre seus vetores normais! Mas falou em ângulo, falou em produto escalar!

c o s θ = n 1 → ⋅ n 2 → n 1 → n 2 →

c o s θ = 1 ,   1 ,   - 1 ⋅ 2 ,   1 ,   1 3 ⋅ 6

c o s θ = 2 3 2

Simplificando,

c o s θ = 2 3

θ = arccos ⁡ 2 3

Resposta

  1. σ 1 ⋂ σ 2 :   x = 2 + 2 t y = 1 - 3 t z = 3 - t

θ = arccos ⁡ 2 3

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