Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Planos

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Enunciado

Determinar o ângulo entre os planos

π 1 : 3 x + 2 y - 6 = 0       e       π 2 : p l a n o   x O z

Passo 1

Bom, do plano π 1 eu sei o vetor normal!

n 1 → = 3 ,   2 ,   0

Mas e o vetor normal de π 2 ??

Pensa comigo, galera. O plano x O z é formado por um vetor diretor da reta do eixo x e um vetor diretor da reta do eixo z :

Então se nós fizermos o produto vetorial entre   x → e   z → , vamos obter um vetor perpendicular a eles, ou seja, um vetor normal ao plano!

Considerando   x → = 1 ,   0 ,   0 e   z → = ( 0 ,   0 ,   1 ) , temos:

x → × z → = i → j → k → 1 0 0 0 0 1 = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

Logo,   n 2 → = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

Passo 2

Agora é só completar a fórmula!

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → | n 2 → |

Calculando os termos:

n 1 → ∙ n 2 → = 3 ,   2 ,   0 ∙ 0 ,   - 1 ,   0 = | 0 + ( - 2 ) + 0 | = 2

n 1 → = 3 2 + 2 2 + 0 2 = 13

| n 2 → | = 0 2 + ( - 1 ) 2 + 0 2 = 1

Colocando os valores na fórmula, temos:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → n 2 → → cos ⁡ θ = 2 1 13 = 2 13

θ = cos - 1 ⁡ 2 13

Resposta

θ = cos - 1 ⁡ 2 13

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