Uma barra de metal medindo de comprimento e de diâmetro está coberta, exceto nas pontas, por uma camada de isolante com uma espessura de . Use Diferenciais para estimar o volume do isolante. Calcule também o volume do isolante de forma exata, e compare os resultados do valor real com a aproximação.
Passo 1
Bem, vamos começar entendendo o problema, temos uma barra de metal, que está revestida por um pequeno isolante.
Temos duas formas de fazer isso, podemos calcular na mão, que seria fazer o volume total com o isolante menos o volume total sem o isolante, e a outra forma seria fazer a aproximação, imaginando que esse volume do isolante nada mais é que a variação do volume quando o raio vai de para .
O problema pede os dois, mas calculando a aproximação que foi o que a questão pediu primeiro:
O volume desse cilindro vai ser
O é fixo, então podemos mudar logo o seu valor
Lembra da teoria que podemos relacionar com ? A diferencial do volume em relação ao raio vai ser
Passando o para direita,
Passo 2
Agora temos que:
Agora temos que achar o . Como vimos na teoria, vamos ter:
E:
Agora que temos , podemos achar , lembrando que o raio dessa fórmula, vai ser o raio inicial, como já vimos nos outros exercícios. Então:
E substituindo no valor da fórmula no fim do passo , temos:
Passo 3
Agora vamos fazer a conta real:
Assim:
Vamos ter:
Passo 4
Comparando a aproximação com o cálculo real:
Comparando os valores, podemos ver que eles são beeem próximos, o erro calculado nessa aproximação é bem pequeno.
Porém, como a gente quer as coisas o mais próximo possível do valor real, evitamos o cálculo por aproximação quando o cálculo real é possível. Afinal, você vai querer que aquele prédio que você assinou fique de pé.