Uma esfera de madeira de de diâmetro é envernizada, ficando mais espessa. Use Diferenciais para estimar o volume da camada de verniz. Calcule também o volume do verniz de forma exata, e compare os resultados do valor real com a aproximação.
Passo 1
Bem, vamos começar entendendo o problema, temos uma esfera de madeira envernizada. Porque alguém enverniza uma esfera de madeira eu já não sei.
Temos duas formas de fazer isso, podemos calcular na mão, que seria fazer o volume total com o verniz menos o volume total sem o verniz, e a outra forma seria fazer a aproximação, imaginando que esse volume do verniz nada mais é que a variação do volume quando o raio vai de para (a questão dá o diâmetro)
O problema pede os dois, mas calculando a aproximação que foi o que a questão pediu primeiro:
O volume da esfera vai ser
Lembra da teoria que podemos relacionar com ? A diferencial do volume em relação ao raio vai ser
Passando o para direita,
Passo 2
Agora temos que:
Agora temos que achar o . Como vimos na teoria, vamos ter:
E:
Agora que temos , podemos achar , lembrando que o raio dessa fórmula, vai ser o raio inicial, como já vimos nos outros exercícios. Então:
E substituindo no valor da fórmula no fim do passo , temos:
Passo 3
Agora vamos fazer a conta real:
Assim:
Vamos ter:
Passo 4
Comparando a aproximação com o cálculo real:
Comparando os valores, podemos ver que eles são próximos, o erro calculado nessa aproximação é pequeno.
Porém, como a gente quer as coisas o mais próximo possível do valor real, evitamos o cálculo por aproximação quando o cálculo real é possível. Afinal, você vai querer que aquele prédio que você assinou fique de pé. Não é um prédio nesse caso mas a ideia é a mesma ;)