Sejam a, b ∈ R , a > 0 e |b| << a (isto é, |b| muito menor que a). Usando diferenciais, mostre que:

raiz(a^3 + b) ≈ a + b / (2a)

Passo 1

A diferencial de uma função y = f ( x ) é dada sempre por d y = f ' x d x

Vamos chamar a 3 + b de x , ou seja, teremos uma função do tipo:

f x = x 3 = x 1 3

Derivando, temos que:

f ' x = 1 3 x 2 3

Passo 2

Pela equação de linearização temos que:

L x = f x + f ' x b

L x = x 3 + 1 3 x 2 3 b

Lembrando que x = a 3 + b e que bem módulo é muito menor que a, podemos reescrever que:

L x = a 3 3 + 1 3 a 3 3 b

L x = a + b 3 a

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Exercícios Resolvidos de Aproximação por Diferencial

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