Sejam a, b ∈ R , a > 0 e |b| << a (isto é, |b| muito menor que a). Usando diferenciais, mostre que:

raiz(a^3 + b) ≈ a + b / (2a)

Passo 1

A diferencial de uma função y = f ( x ) é dada sempre por d y = f ' x d x

Vamos chamar a 3 + b de x , ou seja, teremos uma função do tipo:

f x = x 3 = x 1 3

Derivando, temos que:

f ' x = 1 3 x 2 3

Passo 2

Pela equação de linearização temos que:

L x = f x + f ' x b

L x = x 3 + 1 3 x 2 3 b

Lembrando que x = a 3 + b e que bem módulo é muito menor que a, podemos reescrever que:

L x = a 3 3 + 1 3 a 3 3 b

L x = a + b 3 a

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Exercícios Resolvidos de Aproximação por Diferencial

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18. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.raiz(x + 1) = x^2 - x
Um cubo de aço com 1 cm de lado é coberto com 0,01 cm de cobre. Use diferenciais para estimar o volume de cobre na cobertura. [sugestão: seha ∆ V a variação no volume do cubo).
Use a diferencial dy para aproximar ∆y de acordo com as mudanças de x.y = x / (x^2 + 1); dx = 2 para x = 1, 96
a) Seja y = 1 / x. Encontre dy e ∆y em x=1, sendo d x = ∆x = -0,5 b) Esboce o gráfico de y = 1 / x, mostrando dy e ∆y na figura.
Calcule a diferencial.y = x / (x + 1)