Parametrize a parte da superfície:
Limitada pelas superfícies:
Passo 1
Vamos começar reescrevendo esta equação e saber qual é a cara dela!
Reescrevendo a equação da superfície, temos:
Completando o quadrado perfeito:
Ajeitando a parte dentro dos parênteses, temos
Ou seja, se trata de um cilindro de raio com centro no ponto .
Agora vamos parametrizar e depois achar os limites para equação parametrizada!
Passo 2
Podemos parametrizar a superfície com coordenadas cilíndricas. Então vamos deixar as componentes em e em função de seno e cosseno. Fica assim:
Substituindo na equação original, podemos achar o :
Repara que o parâmetro sumiu. Pois toda equação multiplicada por é igual a ela mesma. Mas como é uma superfície precisamos necessariamente de dois parâmetros.
Mas fica, tranquilo, como estamos falando de um cilindro no eixo , podemos deixar o sendo o próprio parâmetro e as funções seno e cosseno descrevem a parte circular do cilindro. Logo a parametrização fica assim:
Passo 3
Agora podemos começar a pensar nos limites da superfície. O enunciado disse que ela é limitada pelas superfícies:
Ou seja,
Como acabamos de parametrizar, precisamos colocar em função de . Já sabemos que , então olhando no Passo 1 temos que
Substituindo, ficamos com,
Agora na real já está pronto. Falta só arrumar, mas não é de palhaçada não. Arrumar algebricamente esse tipo de coisa (i.e. limitações da superfície) é algo que vai te ajudar na hora de fazer alguma integral nos próximos capítulos. Arrumando:
E encerrou!