1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
a) parte da esfera , que fica acima do plano .
Passo 1
Sugiro sempre a você em casos de parametrização como esse, fazer um esboço da superfície que você está trabalhando. Nem precisa ser perfeito, pois é mais para te dar uma noção do que fazer mesmo.
No nosso caso, a parte da esfera acima de um plano paralelo ao plano é...
Passo 2
Bem, estamos trabalhando com um pedaço de esfera, então nada mais justo que utilizar uma parametrização “prima” das coordenadas esféricas:
Agora tome muito cuidado! Uma superfície, mesmo no espaço, tem duas dimensões, certo? Então ela precisa sempre de dois parâmetros para descrevê-la. No nosso caso, é só o ângulo e o , esse desaparece virando o raio da esfera que estamos trabalhando...
Logo a parametrização é...
Ou, com uma anotação um pouco mais elegante do ponto de vista da matemática...
Passo 3
Ok, agora nos falta a segunda parte do problema que é encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.
Bem, como a parametrização é prima das coordenadas esféricas, o ângulo gira no plano ao redor do eixo :
Como pode ver na projeção da superfície no plano , precisamos de um dando uma volta completa:
Passo 4
O ângulo varia do eixo até a borda da superfície:
A borda da superfície é justamente, nesse caso, dado pelo limite imposto pelo plano:
Substituindo o pelo termo da parametrização...
Nesse caso o só pode ser ...