Parametrize a porção da esfera que não se encontra no interior do paraboloide .
Passo 1
Primeiramente, sabemos que a parametrização de uma esfera é melhor em coordenadas esféricas, então já podemos atacar com a seguinte parametrização:
Onde . Seguindo, temos:
Substituindo :
Podemos seguir com a limitação da esfera, que é estar fora do paraboloide.
Passo 2
Um ponto está fora do paraboloide se ele respeita a inequação:
Como podemos averiguar pelo gráfico:
Portanto, arrumando malandramente, somamos em ambos lados:
As raízes são:
Mas como temos um paraboloide deve ser sempre positivo, então eles se encontram em E assim:
De resto o , por sua definição, pode ir até , então:
O não tem restrições, com exceção daquela convencionada pela trigonometria: