Parametrize a porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 12 que não se encontra no interior do paraboloide z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Primeiramente, sabemos que a parametrização de uma esfera é melhor em coordenadas esféricas, então já podemos atacar com a seguinte parametrização:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Onde r 2 = 12 . Seguindo, temos:

σ θ , ϕ = x θ , ϕ ,     y θ , ϕ ,     z θ , ϕ

σ θ , ϕ = r cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ ,     r sen ⁡ ( θ ) sen ⁡ ϕ ,     r cos ⁡ ϕ

Substituindo r :

r 2 = 12 → r = 2 3

σ θ , ϕ = 2 3 cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ ,     2 3 sen ⁡ ( θ ) sen ⁡ ϕ ,     2 3 cos ⁡ ϕ

Podemos seguir com a limitação da esfera, que é estar fora do paraboloide.

Passo 2

Um ponto x ,   y ,   z está fora do paraboloide z = x 2 + y 2 se ele respeita a inequação:

z < x 2 + y 2

Como podemos averiguar pelo gráfico:

Portanto, arrumando malandramente, somamos z 2 em ambos lados:

z 2 + z < x 2 + y 2 + z 2 = 12

z 2 + z ≤ 12

z 2 + z - 12 ≤ 0

As raízes são:

z = - 1 ± 1 + 48 2

z = - 1 ± 7 2 → z = 3         o u         z = - 4

Mas como temos um paraboloide z deve ser sempre positivo, então eles se encontram em z = 3 E assim:

z ≤ 3

12 cos ⁡ ϕ ≤ 3

cos ⁡ ϕ ≤ 3 2 3

cos ⁡ ϕ ≤ 3 2

ϕ ≥ π 6

De resto o ϕ , por sua definição, pode ir até π , então:

π 6 ≤ ϕ ≤ π

O θ não tem restrições, com exceção daquela convencionada pela trigonometria:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Resposta

σ θ , ϕ = 2 3 cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ ,     2 3 sen ⁡ ( θ ) sen ⁡ ϕ ,     2 3 cos ⁡ ϕ

ϕ ∈ π 6 , π

θ ∈ 0,2 π

Exercícios Resolvidos de Caso Avançado

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O que acontecerá com o tubo espiral do Exemplo 2 (veja a Figura 5 ) se substituirmos cos(u) por sen(u) e sen(u) por cos(u) ?O que acontecerá se substituirmos cos(u) por cos(2u) e sen(u) por sen(2u) ?
Determine as equações paramétricas da superfície obtida pela rotação da curva y = e^(-x) , 0 = x = 3 , em torno do eixo x e use-as para traçar o gráfico da superfície.
Case as equações com os gráficos identificados por I - V I e dê razões para sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.r(u, v) = u * cos(v) * i +
Identifique a superfície com equação vetorial dada.r → (u, v) = (1 + 2u)i^ + (-u + 3v)j^ + (2 + 4u + 5v)k^
Case as equações com os gráficos identificados por I - V I e dê razões para sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.r(u, v) = cos(v)i + sen(v)