Parametrize a porção da esfera que não se encontra no interior do paraboloide .
Passo 1
Primeiramente, sabemos que a parametrização de uma esfera é melhor em coordenadas esféricas, então já podemos atacar com a seguinte parametrização:
Onde . Seguindo, temos:
Substituindo :
Podemos seguir com a limitação da esfera, que é estar fora do paraboloide.
Passo 2
Um ponto está fora do paraboloide se ele respeita a inequação:
Como podemos averiguar pelo gráfico:
Portanto, arrumando malandramente, somamos em ambos lados:
As raízes são:
Mas como temos um paraboloide deve ser sempre positivo, então eles se encontram em E assim:
De resto o , por sua definição, pode ir até , então:
O não tem restrições, com exceção daquela convencionada pela trigonometria:
Resposta
Exercícios Resolvidos de Caso Avançado
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O que acontecerá com o tubo espiral do Exemplo 2 (veja a Figura 5 ) se substituirmos cos(u) por sen(u) e sen(u) por cos(u) ?O que acontecerá se substituirmos cos(u) por cos(2u) e sen(u) por sen(2u) ?
Determine as equações paramétricas da superfície obtida pela rotação da curva y = e^(-x) , 0 = x = 3 , em torno do eixo x e use-as para traçar o gráfico da superfície.
Case as equações com os gráficos identificados por I - V I e dê razões para sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.r(u, v) = u * cos(v) * i +
Identifique a superfície com equação vetorial dada.r → (u, v) = (1 + 2u)i^ + (-u + 3v)j^ + (2 + 4u + 5v)k^
Case as equações com os gráficos identificados por I - V I e dê razões para sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.r(u, v) = cos(v)i + sen(v)