1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
a) parte do plano , no interior do cilindro .
Passo 1
Sugiro sempre a você em casos de parametrização como esse, fazer um esboço da superfície que você está trabalhando. Nem precisa ser perfeito, pois é mais para te dar uma noção do que fazer mesmo.
No nosso caso, a parte do plano:
Delimitado pelo cilindro de raio ...
Passo 2
Bem, estamos trabalhando com um pedaço de plano dentro de um cilindro, então nada mais justo que utilizar uma parametrização “prima” das coordenadas cilindricas:
Agora tome muito cuidado! Uma superfície, mesmo no espaço, tem duas dimensões, certo? Então ela precisa sempre de dois parâmetros para descrevê-la. No nosso caso, é só o ângulo e o .
O e o já estão descritos, mas inda falta o . A nossa sorte é que a superfície é um pedaço de plano:
Trocando esse e ...
Logo a parametrização, com uma anotação um pouco mais elegante do ponto de vista da matemática, é...
Passo 3
Ok, agora nos falta a segunda parte do problema que é encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.
Bem, como a parametrização é prima das coordenadas cilíndricas o ângulo gira no plano ao redor do eixo :
Como pode ver na projeção da superfície no plano , precisamos de um dando uma volta completa:
Passo 4
Enquanto isso, podemos ver na mesma projeção:
Que o varia de até a borda máxima que é o raio do próprio cilindro delimitador de raio igual a... :