Parametrização de superfícies
Seja a curva contida no plano cartesiano cujos pontos satisfazem , , .
Parametrize a superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .
Passo 1
Como se trata de uma superfície de revolução, primeiro vamos direto na fórmula. Com um detalhe importante: normalmente trabalhamos com uma rotação em torno de , e neste caso estamos girando a curva em torno de , portanto a fórmula é um pouco diferente.
Dadas parametrizações e , a curva gerada pela revolução em torno de tem parametrização , com .
Parametrizemos, então. Vamos olhar a cara da função:
Não lembra um pouco o formato da equação trigonométrica? Então beleza, vamos arrumar a equação para testar esse palpite:
Passando a raiz cúbica pra dentro:
Passo 2
Agora sim, podemos comparar com a trigonométrica:
Dessa expressão, obtemos:
Mas como varia o parâmetro ? Se a gente observar bem a equação da curva, dá pra notar que e . Isso porque e tem como valor máximo! Então multiplicando eles por teremos um valor máximo de haha.
Nesse caso, pra variável , por exemplo, para :
Para :
Pra variável a gente teria para :
Para :
Finalmente a gente descobriu como varia:
Aplicando a fórmula, temos:
E acabou!