Seja C a curva contida no plano cartesiano x y cujos pontos satisfazem x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3 , x ≥ 0 , y ≥ 0 .

Parametrize a superfície S gerada pela rotação da curva C em torno do eixo O Y .

Passo 1

Como se trata de uma superfície de revolução, primeiro vamos direto na fórmula. Com um detalhe importante: normalmente trabalhamos com uma rotação em torno de z , e neste caso estamos girando a curva em torno de y , portanto a fórmula é um pouco diferente.

Dadas parametrizações x = x ( t ) e y = y ( t ) , a curva gerada pela revolução em torno de O Y tem parametrização ϕ t , θ = x t cos ⁡ θ , y t , x t  sen θ , com 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Parametrizemos, então. Vamos olhar a cara da função:

x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3

Não lembra um pouco o formato da equação trigonométrica? Então beleza, vamos arrumar a equação para testar esse palpite:

x a 2 / 3 + y a 2 / 3 = 1

Passando a raiz cúbica pra dentro:

x a 1 3 2 + y a 1 3 2 = 1

Passo 2

Agora sim, podemos comparar com a trigonométrica:

cos 2 ⁡ ( t ) + sen 2 ⁡ ( t ) = 1

Dessa expressão, obtemos:

x a 1 3 = cos ⁡ t → x = a cos 3 ⁡ t

y a 1 3 = sen ⁡ ( t ) → y = a sen 3 ⁡ ( t )

Mas como varia o parâmetro t ? Se a gente observar bem a equação da curva, dá pra notar que x ∈ 0 , a e y ∈ [ 0 , a ] . Isso porque cos 3 ⁡ t e sen 3 ⁡ ( t ) tem 1 como valor máximo! Então multiplicando eles por a teremos um valor máximo de a haha.

Nesse caso, pra variável x , por exemplo, para x = 0 :

x = 0

0 = a cos 3 ⁡ t  

cos 3 ⁡ t = 0

cos ⁡ t = 0

t = π 2

Para x = a :

x = a

a = a cos 3 ⁡ t

cos 3 ⁡ t = 1

cos ⁡ t = 1

t = 0

Pra variável y a gente teria para y = 0 :

y = 0

0 = a sen 3 ⁡ ( t )

sen 3 ⁡ ( t ) = 0

sen ⁡ t = 0

t = 0

Para y = a :

y = a

a = a sen 3 ⁡ ( t )

sen 3 ⁡ ( t ) = 1

sen ⁡ t = 1

t = π 2

Finalmente a gente descobriu como t varia:

t ∈ 0 , π 2 .

Aplicando a fórmula, temos:

ϕ θ , t = a cos 3 ⁡ t cos ⁡ θ , a   sen 3 ⁡ ( t ) , a cos 3 ⁡ t sen ⁡ θ

E acabou!

Resposta

ϕ θ , t = a cos 3 ⁡ t cos ⁡ θ , a   sen 3 ⁡ t , a cos 3 ⁡ t sen ⁡ θ

t ∈ 0 , π 2 ,     θ ∈ 0,2 π

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