1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
e) superfície de revolução obtida girando o segmento de reta , , , em torno do eixo .
Passo 1
Sugiro sempre a você em casos de parametrização como esse, fazer um esboço da superfície que você está trabalhando. Nem precisa ser perfeito, pois é mais para te dar uma noção do que fazer mesmo.
No nosso caso, o que devemos fazer é pegar esses dois pontos unidos por um segmento...
E girá-lo ao redor de ...
Formando ao pedaço de cone!
Passo 2
Uma superfície como essa, foi gerada com uma revolução, logo a parametrização que devemos utilizar é a parametrização que chamamos de parametrização de superfícies de revolução. Bem sugestivo, neh? kkkkkk
Para essa superfície, como você já sabe, primeiro parametrizamos a curva que deu origem, no caso, a reta. Parametrização de reta, sempre tem essa cara:
Onde é um ponto qualquer da reta, por exemplo, o ponto . do enunciado..
E o vetor é o vetor de direção dessa reta, dado pelo ponto inicial menos o final:
Então a parametrização da reta é:
Logo a parametrização da curva é no plano ...
Repare que ficaram uns vácuos ali! Isso porque a uma curva precisa de uma única variável e a superfície de duas, bora encontrar a segunda?
Passo 3
Bem, o segundo parâmetro é o ângulo que chamamos de fator de giro. Como no caso estamos girando ao redor de , ou seja, no plano ...
Devemos colocar uma correção com um cosseno e um seno em e . O cosseno, se quisermos o ângulo saindo do eixo no sentido anti-horário como no desenho acima, deve ser necessariamente o e o o seno:
Então a parametrização fica...
Como tem um termo na frente do seno, tem que ter na frente do cosseno também:
Eis a parametrização!
Passo 4
Ok, agora nos falta a segunda parte do problema que é encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.
Bem, O ângulo gira no plano ao redor do eixo :
Como pode ver na projeção da superfície no plano , precisamos de um dando uma volta completa:
Passo 5
Enquanto isso, o é dado por...
E movemos do ponto ao ...
Então, quando é ...
E quando ...
Então o varia de...