Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

A norma da projeção ortogonal do vetor v →   =   ( 1 ,   2 ,   3 ) na imagem de uma matriz A é igual a 3. Calcule a norma da projeção ortogonal de v → no núcleo de A T :

(a) 5 3

(b)   5

(c) 3 5

(d) 5 3

Passo 1

Primeiramente temos que lembrar que I m A = N u c A T ⊥ , então queremos a norma da projeção ortogonal de v → no complemento ortogonal da imagem da matriz.

Vamos supor que a imagem da matriz é um plano e portanto seu complemento ortogonal vai ser uma reta para visualizarmos melhor:

Bom, aí temos o plano que é a I m ( A ) , a reta perpendicular a ele que vai ser seu complemento ortogonal, o vetor v e sua projeção no plano! Já dá para visualizar o que queremos:

Isso formou um triângulo retângulo!!

Passo 2

Nós temos o módulo da projeção, as coordenadas de v → , que podemos utilizar para poder achar seu módulo, e queremos o módulo da outra projeção. É só usar Pitágoras:

Primeiro vamos achar o módulo do vetor v → :

v → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14

Agora sim:

14 2 = 3 2 + x 2

x 2 = 14 - 9 = 5

x = 5

Resposta

b