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Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

A3 T10

Seja A = - 2 4 0 1 - 2 0 . Indique a alternativa VERDADEIRA

( a ) O complemento ortogonal do núcleo de A T é x , 2 x , x ∈ R

( b ) O complemento ortogonal do espaço gerado pelas linhas de A é x , 2 x , x ∈ R

( c ) O complemento ortogonal do espaço gerado pelas colunas de A é x , 2 x , x ∈ R

( d ) O complemento ortogonal do núcleo de A é x , 2 x , x ∈ R

Passo 1

Repara que todas as alternativas falam desse x , 2 x , x ∈ R . Então vamos descobrir o que da matriz é isso haha. Bom, isso é um espaço do R 2 já que o vetor x , 2 x tem duas coordenadas. Então só pode ser a imagem de A ou o núcleo de A T . A imagem de A é:

I m A = - 2,1 , 4 , - 2 = - 2,1

E o espaço gerado por esse vetor é:

x - 2,1 = - 2 x , x

Opa, não é o que nós queremos, então a resposta só pode ser o núcleo de A T . Escrevendo isso em complemento ortogonal de algo temos:

N u c A T = I m A ⊥

Como a imagem é o espaço gerado pelas colunas, a resposta é a c .

Resposta

Letra ( c )