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Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

A3 T10

Qual dos sistemas abaixo sempre possui solução?

a A x → = b → , onde b → ∈ I m A ⊥

( b ) A T x → = b → , onde b → ∈ N A ⊥

( c ) A x → = b → , onde b → ∈ N A

( d ) A T x → = b → , onde b → ∈ I m A

Passo 1

O que você tem que fazer quando ver vários núcleos, imagens, complementos ortogonais e transpostas na mesma questão? Se lembrar desse negócio SUPER MEGA importante:

N u c A = I m A T ⊥   e   I m A T = N u c A ⊥

N u c A T = I m A ⊥   e   I m A = N u c A T ⊥

Então, vamos reescrever as alternativas substituindo as coisas que tem ⊥ :

( a ) A x → = b → , onde b → ∈ N A T

( b ) A T x → = b → , onde b → ∈ I m A T

( c ) A x → = b → , onde b → ∈ N A

( d ) A T x → = b → , onde b → ∈ I m A

E agora, qual a resposta? Bom, pra um sistema sempre ter solução, o vetor b → tem que fazer parte da imagem da matriz. E é exatamente isso que nossa alternativa b está dizendo!!

Resposta

Letra ( b )