Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

Suponha que a matriz A é 3 × 3 e que o seu núcleo é o plano x + y + z = 0 . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

a   O núcleo de A T é o plano x + y + z = 0

b   O núcleo de A T é a reta na direção do vetor 1 , 1,1

c   A imagem de A é a reta na direção do vetor 1 , 1,1

d   A imagem de A T é a reta na direção do vetor 1,1 , 1

Passo 1

Temos o núcleo de A e um monte de opções falando de transpostas! Então você já pode desconfiar que vamos usar o seguinte:

N u c A = I m A T ⊥ e I m A T = N u c A ⊥

Tá, quem é o complemento ortogonal do plano x + y + z = 0 ? É justamente o vetor 1 , 1,1 ! E como o núcleo de A é esse plano, temos que o vetor 1 , 1,1 é o complemento ortogonal do núcleo de A !

Mas pela nossa relação ali em cima também temos que a imagem da transposta é o complemento ortogonal do núcleo de A ! Logo:

I m A T = 1,1 , 1

A resposta é a d .

Resposta

Letra ( d )