A3 T10
Seja o subespaço do gerado pelos vetores e . Queremos escrever como um núcleo de uma matriz, isto é, procura-se uma matriz tal que . Se definirmos
então pode ser construída:
Computando uma base do núcleo de e colocando os vetores desta base nas colunas de .
Computando uma base do núcleo de e colocando os vetores desta base nas linhas de .
Computando uma base do núcleo de e colocando os vetores desta base nas colunas de .
Computando uma base do núcleo de e colocando os vetores desta base nas linhas de .
Passo 1
Temos transpostas e núcleos na mesma questão então é quase certo que vamos precisar disso:
Ta, queremos que . Pela nossa relação aí de cima temos que . Ou ainda:
Tá, a imagem da nossa tem que ser o complemento ortogonal de . Guardem isso em um cantinho e vamos trabalhar com a matriz agora.
Passo 2
Ele te dá a seguinte matriz:
Percebe que os vetores geradores de estão nas colunas da matriz? Isso quer dizer que a imagem de (espaço gerado pelas colunas) é o próprio :
Se aplicarmos novamente aquelas relações vamos ter que . Jogando o para o outro lado:
Opa, então o núcleo de é o complemento ortogonal de . Beleza, vamos juntar as informações que temos!
Passo 3
Temos que:
Logo,
Mas as opções só falam de e não de ! Bom a imagem de é o espaço gerado pelas colunas de certo? Que é exatamente os espaço gerado pelas linhas de ! Então:
Ou seja, se pegarmos uma base para o núcleo de e jogarmos nas linhas de , teremos o que o exercício quer!! Logo a certa é a
Complicado né? Se não entendeu muito bem, dá uma segunda lida aí haha.
Resposta
Letra