Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

Seja A uma matriz m × n . Assinale a alternativa correta:

( a ) R m = I m A ⊥ + N A T ⊥

( b ) R m = N A + I m A T ⊥

( c ) R m = N A ⊥ + N A T ⊥

( d ) R m = N A T + I m A T ⊥

Passo 1

Opa, essa é uma questão clássica que daquela história do complemento ortogonal da imagem de uma matriz ser o núcleo de sua trasposta e o complemento ortogonal do núcleo de uma matriz ser a imagem de sua transposta.

Eita, muita coisa né. Vamos com calma! Primeiro vamos ver o que da nossa matriz A se encontra no R m !

Como A é m × n , ela representa uma T L R n → R m ! Ou seja, a imagem de A se encontra no R m ! E o núcleo no R n . Ou seja, nada somado ao núcleo de A vai gerar o R m ! Isso elimina as letras b e c .

Já nossa A T é n × m , então ela representa uma T L R m → R n ! Então dessa vez é o núcleo de A T que pertence ao R m . E a imagem se encontra no R n , eliminando a letra d !

Ou seja, por eliminação, só pode ser a letra a !

Passo 2

Okay, já pode marcar essa, mas vamos tentar entender a afirmação. Sabemos que o complemento ortogonal da imagem de uma matriz é o núcleo de sua trasposta (ou pelo menos deveríamos saber):

I m A = N u c A T ⊥

Substituindo na nossa letra a :

R m = I m A ⊥ + I m A

Bom, sabemos que a I m A está no R m pela nossa análise lá de cima, certo? E lembra que a soma entre um espaço e seu complemento é direta? Ou seja, eles formam todas as dimensões do espaço onde estão contidos! Então podemos ver que essa realmente é verdadeira.

Resposta

Letra ( a )