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Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

A3 T10

Seja A = - 2 4 0 1 - 2 0 . Indique a alternativa VERDADEIRA

a   O complemento ortogonal ao núcleo de A é x , 2 x , x ∈ R

b   O complemento ortogonal ao espaço gerado pelas colunas de A é x , 2 x , x ∈ R

c   O complemento ortogonal ao núcleo de A T é x , 2 x , x ∈ R

d   O complemento ortogonal ao espaço gerado pelas linhas de A é x , 2 x , x ∈ R

Passo 1

Beleza, repare que o x , 2 x , x ∈ R aparece em todas as opções! Então vamos descobrir qual espaço que é igual à ele.

Mas antes disso repare que x , 2 x , x ∈ R é um espaço contido no R 2 ! E como a matriz é 2 × 3 , os únicos espaços que podem ser definidos por x , 2 x , x ∈ R são a imagem de A e o núcleo de A T .

Ou, passando pra linguagem de complemento ortogonal que o problema usa, os únicos espaços que podem ser definidos por x , 2 x , x ∈ R são o complemento ortogonal do núcleo de A T e o complemento ortogonal da imagem de A .

Imagem de A (complemento ortogonal do núcleo de A T ):

I m A = - 2,1 , 4 , - 2 , 0,0 = - 2,1 , 4 , - 2 = - 2,1 = - 2 x , x , x ∈ R

Como não é a imagem de A , só pode ser o núcleo da transposta, mas vamos confirmar.

Núcleo de A T (complemento ortogonal da imagem de A ):

Bom, como já temos a imagem de A , pra achar seu complemento ortogonal é só encontrarmos o vetor ortogonal (lembrando que estamos no R 2 )!

I m A = t - 2,1 ⇒ I m A ⊥ = t 1,2 = x , 2 x , x ∈ R

Pronto, chegamos na resposta que queríamos!   x , 2 x , x ∈ R é o complemento ortogonal da imagem de A , ou em outras palavras, o complemento ortogonal do espaço gerado pelas colunas de A . Letra b .

Resposta

Letra ( b )