UFRJ, P4-2019.2
Questão extra: Seja uma matriz e seja . Assinale a única afirmação que NÃO necessariamente é verdadeira.
- Se então é a projeção ortogonal de sobre a .
- Se , então
- tem solução única.
- Se é invertível, a única solução de é .
Passo 1
Belezoca de motoca galerinha, queremos saber qual das alternativas nem sempre é verdadeira, ou pros mais íntimos, a alternativa falsa. Saca só, na letra (a) ele diz que se então é a projeção ortogonal de sobre a . Mas calma lá, porque sabemos podemos primeiro passar tudo para o mesmo lado:
E se a gente isolar o vamos ter que:
Como o vetor leva no quer dizer que ele pertence ao núcleo de tal que:
E através da identidade fundamental , tiramos que:
E a malandragem aqui é que nossa identidade das projeções diz que a projeção no complemento ortogonal, somada a projeção no espaço, é igual ao próprio vetor, isto é:
Mas projetar no complemento ortogonal da imagem, é a mesma coisa que projetar no vetor , logo podemos substituir na identidade e obter o seguinte:
Portanto, realmente é a projeção ortogonal do vetor sobre a imagem de . Afirmativa verdadeira.
Passo 2
Na letra (b), ele diz que se , então e acabamos de ver no comecinho do Passo 1, que isso de fato é verdade, independente da matriz . Bora pra letra (c) então, ela diz que tem solução única. E aqui a gente pode parir do seguinte lema:
Mas se caso não for injetiva, então também não vai ser injetiva. Logo quando ele diz que o sistema possui solução única, ele tá dizendo que e são simultaneamente injetivas. Só que isso uma afirmação um tanto quanto audaciosa, já que bastaria apenas que não fosse injetiva para que também não seja e assim o sistema não teria solução. Portanto nossa afirmativa falsa é a digníssima letra (c).
Resposta
Letra (c)