Seja um subespaço de e o seu complemento ortogonal. Podemos afirmar que:
Existe um vetor de que não pertence à soma de e .
A dimensão de é maior ou igual à dimensão de
Se as linhas de uma matriz formam uma base para , então
Se as linhas de uma matriz formam uma base para , então .
Passo 1
Vamos analisar letra por letra.
Sabemos que a soma de e gera o inteiro, pois a soma das dimensões tem que dar o espaço todo em que se encontram. Então essa é falsa, não tem como um vetor do não pertencer ao haha
Passo 2
Se por acaso tiver dimensão igual a , então o seu complemento terá dimensão , não é necessário que a dimensão de seja maior que a de e sim que:
Passo 3
Sabemos que para achar o complemento ortogonal de um conjunto, basta fazermos o produto interno de um vetor genérico do espaço (no caso o ) com os vetores de . Em matrizes isso fica:
Sendo base de
E portanto, temos:
Logo podemos dizer que a imagem de , seria igual à , que é o complemento ortogonal de :
Então essa também é falsa.
Passo 4
Sabemos que o sistema homogêneo:
é o complemento ortogonal de , ou seja, . Então o núcleo da matriz é :
E essa é a opção correta.
Resposta
Letra