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Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.2, Questão 08

Seja A uma matriz qualquer. Considere as afirmativas abaixo:

I - Se A T é injetiva, então A   é sobrejetiva.

I I - Se A é sobrejetiva, então A T é injetiva.

(a) I é verdadeira e I I é falsa

(b) Ambas são falsas

(c) I é falsa e I I é verdadeira

(d) Ambas são verdadeiras

Passo 1

Primeiro vamos considerar que nossa matriz tem dimensão m × n

Bom, se A T é injetiva, dim ⁡ N u c A T = 0 .

Sabemos que N u c A T = I m A ⊥ . Ou seja, o núcleo da matriz transposta vai ser igual ao completo ortogonal da imagem da matriz!

Ou seja, dim ⁡ I m A ⊥ = 0 . Além disso, a soma dim ⁡ I m A + dim ⁡ I m A ⊥ deve dar a dimensão do espaço em que elas estão contidas, dim ⁡ R m = m ,   ou seja, do contradomínio da matriz!

dim ⁡ ⁡ I m A + dim ⁡ ⁡ I m A ⊥ = m

dim ⁡ ( ⁡ I m ( A ) ) = m

Assim provamos que a imagem de A é o próprio contradomínio levando a matriz a ser sobrejetiva!

Passo 2

Agora queremos saber se a recíproca é verdadeira!

I m A = R m

I m A = N u c A T ⊥

Assim, o complemento ortogonal do núcleo da transposta vai ser R m . Logo, deve ter dimensão m ,   fazendo a mesma soma:

dim ⁡ ⁡ N u c A T + dim ⁡ ⁡ N u c A T ⊥ = m

dim ⁡ ( ⁡ N u c ( A T ) ) = m - m = 0

Logo A T é injetiva!

Passo 3

Resposta

Letra d