Considere as afirmativas abaixo:

I – A equação não possui solução.

I – A equação não possui solução.

(a) Ambas são falsas.

(b) Ambas são verdadeiras.

(c) I é verdadeira e II é falsa.

(d) I é falsa e II é verdadeira.

Se a gente tentar fazer a mesma coisa para a expressão do segundo item, vamos precisar completar quadrados.

Somando e subtraindo 2xy, vamos ficar com:

E não vamos conseguir tirar nada daí :p

Nesse caso não vai ter jeito, vamos ter que fazer aquele processo de passar para um sistema de eixos cartesianos mais conveniente pra gente.

Temos a equação geral:

Mas a nossa expressão é:

Identificando os coeficientes:

Vamos escrever isso na forma matricial, que é:

Agora precisamos achar uma base ortogonal para escrever essa equação de uma forma melhor.

Então vamos calcular os autovalores e autovetores da matriz:

O polinômio característico vai ser:

Os autovalores são as raízes desse polinômio:

Agora temos que achar os autovetores!

Para :

Ficamos com o sistema:

De onde tiramos que:

Então os autovalores vão ser da forma:

O autoespaço de é gerado pelo vetor (1,1). Normalizando:

Agora vamos fazer a mesma coisa pra :

Ficamos com o sistema:

De onde tiramos que:

Então os autovalores vão ser da forma:

O autoespaço de é gerado pelo vetor (-1,1). Normalizando:

Agora temos a base ortonormal:

Escrevendo esses vetores nas colunas de uma matriz N:

A matriz M de autovalores correspondente é:

Então, fazendo uma mudança de variáveis e denotando as novas variáveis por e , vamos ter que a forma matricial da nossa expressão vai ficar:

Agora temos do lado esquerdo a soma de dois quadrados sendo igualada a um número negativo, e isso nunca vai poder ocorrer!

Logo, a equação

Não tem solução, portanto a equação que ela representa nos eixos x e y, que era a nossa equação original do enunciado:

Também não tem solução e a afirmação é verdadeira.