Considere a cônica de equação

a) Efetue uma rotação de eixos que transforme o sistema no sistema de modo a obter uma equação sem o termo misto.

b) Identifique a cônica e faça um esboço do gráfico.

Se , a gente quer dizer que:

Calculando esse determinante, vamos encontrar o polinômio característico:

Resolvendo essa equação do 2° grau, vamos encontrar os autovalores de :

Agora temos que encontrar os autovetores unitários de associados a cada autovalor.

O autovetor associado a será:

Sendo que .

Se , temos que

Multiplicando as matrizes, teremos esse sisteminha:

Da equação de baixo, tiramos que , então .

Arbitrando um valor qualquer para , por exemplo, , teremos que .

Mas nós queremos o autovetor unitário, então vamos dividir pela sua norma:

Boaa, finalmente encontramos o autovetor unitário de associado ao autovalor . Agora vamos encontrar o associado a .

O autovetor associado a será:

Onde .

Isso quer dizer que

O sistema encontrado vai ser

Da equação de cima temos que . Atribuindo , temos que:

Vamos novamente dividir pela norma para encontrar o vetor unitário:

Agora que temos os autovalores e autovetores, vamos reescrever a equação matricial, aquela que a gente fez lá no passo 1.

Reescrevendo ela com os autovalores e autovetores, ela fica assim

Fazendo a multiplicação de matrizes, vamos ter que

Se dividirmos os dois lados por 36, teremos

Que é a equação de uma elipse com focos no eixo , já que o denominador de é maior que o de :D

b) A equação dada no enunciado é a seguinte elipse

porém rotacionada.

Pra descobrir qual o ângulo de rotação dela, vamos analisar a matriz dos autovetores, afinal sabemos que

Então

Isso quer dizer que a elipse da equação foi rotacionada para obter a elipse do enunciado.

Pela equação , sabemos que e , então o gráfico da elipse é