Determinar os autovalores e os autovetores associados se:
Passo 1
Vamos fazer um aquecimento!! Hehe... para então podermos ir sem nenhuma dúvida para os casos das cônicas com rotação!!
Passo 2
A matriz que nos é dada:
Foi nos dada a matriz e devemos calcular seus autovalores e autovetores. Primeiro, começamos com os autovalores, para isso faremos:
Então,
Calculando o determinante, temos:
Os autovalores são:
Agora, que temos os autovalores podemos calcular o autovetor para cada um dos autovalores. Vamos começar por
Para :
Encontrar o autovetor significa respeitar:
Sendo a matriz dada, , a matriz identidade e o autovetor que queremos descobrir.
Montando a expressão acima e supondo que , teremos:
Como a primeira linha é toda nula, não faz sentido utilizá-la, pois chegaremos que . Então, vamos usar a segunda linha:
Agora, podemos colocar os valores que quisermos desde que respeite a relação. Então, vou dizer que , então será . Pronto temos nosso primeiro autovetor.
Mas, lembre: Nosso autovetor deve ser unitário, ou seja, dividir cada coordenada pela sua norma.
Autovetor unitário será:
Acabamos!! Nada disso!! Falta calcular o autovetor para .
Para , considerando agora que nosso autovetor seja
Escolhendo a primeira ou a segunda linha teremos a mesma relação:
Como não temos nenhuma relação para isso significa que é livre, ou seja, pode ter qualquer valor. Assim, vamos escolher . Portanto:
Como o módulo de é , então ele é nosso próprio autovetor unitário.
Ufa!! Agora sim terminamos!! Hehe