Seja o lugar geométrica dos pontos do plano cujas coordenadas e satisfazem

1. Identificar a cônica
2. Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam à forma canônica
3. Encontrar a excentricidade de . Encontrar também as coordenadas dos focos e dos vértices, e as equações das assíntotas no sistema (se aplicável). Fazer um esboço do gráfico de .

a) Nesse primeiro item devemos identificar a cônica, ou seja, fazer o que já vínhamos fazendo!

Como vimos na teoria, devemos começar montando a equação matricial da equação dada. Para isso, vamos primeiro retirar os valores das contantes e .

Da equação temos:

Vamos então colocar esses valores na equação matricial:

Nossa equação ficará:

Agora que temos nossa equação matricial conseguimos achar nossa matriz , que é:

Próximo passo é calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!!

Bora calcular os autovalores da matriz .

Sempre usando a relação

Resolvendo o determinante:

Temos os autovalores:

Já temos os autovalores!! Agora, é encontrarmos os autovetores para cada autovalor.

Para , vamos supor que o autovetor é e devemos respeitar que:

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

Poderíamos ter escolhido a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!

Então, sabendo a relação e chutando , temos . Assim, nosso autovetor é:

Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma que é .

Então untário é:

Agora, vamos calcular o autovetor para

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

Então, sabendo a relação e chutando , temos . Assim, nosso autovetor é:

Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma que é

Então untário é:

Agora que temos os autovalores e os autovetores podemos montar as matrizes e .

Montando :

Como foi montada de forma que a primeira linha é o autovalor , então a primeira coluna da matriz deve ser o autovetor relacionado ao autovalor , ou seja, .

Já temos tudo o que precisamos para montar nossa expressão matricial final:

CUIDADO: na expressão acima quando temos [D E], o se refere ao valor que encontramos lá no início do exercício e não a matriz .

Montando com nossos valores teremos:

Fazendo a distributiva, temos:

Completando quadrados:

Dividindo tudo por :

Multiplicando tudo por

Chegamos na forma quase canônica da hipérbole. Para ficarmos na forma canônica faremos mais uma mudança de variável, considerando:

Teremos então:

Agora sim temos a expressão canônica da hipérbole. Esse item terminamos.

b) Agora precisamos determinar as mudanças consecutivas de coordenadas que fizemos para chegar na expressão canônica da hipérbole.

Bom, primeiro, mudamos das coordenadas para . A relação entre esses dois sistemas é dado por:

Então, substituindo nossa matriz , temos:

Teremos, então as relações:

Além dessa transformação fizemos uma translação do sistema para . No qual temos as relações:

Pronto!! São essas relações que o enunciado pede. Bora para o próximo item!!

c) Encontrar a excentricidade de . Encontrar também as coordenadas dos focos e dos vértices, e as equações das assíntotas no sistema (se aplicável). Fazer um esboço do gráfico de .

Esse item já fizemos várias vezes quando falamos de cônicas!! O que muda agora, é que antes tínhamos no máximo uma translação, ou seja, uma mudança de variáveis, e agora, temos duas mudanças. Mas, isso não altera a forma de resolução. Ou seja, vamos achar todas as variáveis no sistema em que a curva está no sistema canônico e depois por meio das relações que achamos no item anterior passamos para o sistema .

Então, considerando a equação:

Estamos no CASO 1 da hipérbole. Assim, sabemos que:

Olhando para nossa expressão e as relações acima, temos:

Usando a relação

Lebrando que todos os parâmetros que encontraremos estarão no sistema .

Teremos:

Encontramos tudo o que percisávamos no sistema , agora vamos passar para o sistema e depois para o sistema . Para a primeira mudança, usaremos:

Usando as relações acima obteremos os parâmetros em :

A excentricidade não muda, pois só depende de e .

Para chegarmos na nossa solução vamos passar do para , usando:

Fazendo as contas, teremos:

Para passar as assíntotas para teremos que primeiro isolar nas nossas relações acima e . Isolando teremos:

Substituindo:

Estamos quase terminando, falta o esboço, que fica mais ou menos:

Ufa!! Cansei!! Esse tipo de exercício requer muita atenção por causa das contas que são muito fáceis de errar. Então, faça com calma e para pegar agilidade nada como fazer vários exercícios!