Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação – Método dos Autovalores

Ver Teoria
Exercício 412356789101112

Enunciado

Seja l a curva com equações paramétricas:

x = a 1 + t 2 1 - t 2           e               y = 2 b t 1 - t 2

Determine l .

Passo 1

Bom, quando aprendemos cônicas, vimos todas definidas no sistema cartesiano, ou seja, com x e y . Então, para conseguirmos identificar a curva com maior facilidade nossa tarefa será sumir com o parâmetro t e encontrar uma relação entre x e y .

Bora começar??

Passo 2

Esse tipo de exercício é meio que tentativa e erro. Então, tem alguns que precisamos ver pelo menos uma vez na vida para ter a sacada. Essse é um deles haha.

Para começar vamos reescrever as expressões dadas:

x = a 1 + t 2 1 - t 2 → x a = 1 + t 2 1 - t 2

y = 2 b t 1 - t 2 → y 2 b = t 1 - t 2

Se elevarmos ao quadrado teremos:

x a = 1 + t 2 1 - t 2

x a 2 = 1 + 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2   ( 1 )

y b = 2 t 1 - t 2

y b 2 = 4 t 2 ( 1 - t 2 ) 2 ( 2 )

Passo 3

Vamos, agora, analisar os numeradores das expressões ( 1 ) e ( 2 ) . Se pegarmos a expressão ( 1 ) e subtrairmos da expressão ( 2 ) , teremos:

1 + 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2 - 4 t 2 ( 1 - t 2 ) 2 = 1 - 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2

Agora aqui no numerador do último cara da direita temos um quadrado perfeito!

1 - 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2 = ( 1 - t 2 ) 2 ( 1 - t 2 ) 2 = 1

Finalmente,

1 + 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2 - 4 t 2 ( 1 - t 2 ) 2 = 1

Logo, temos que:

x a 2 - y b 2 = 1

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

E essa é a expressão de uma hipérbole!!

Resposta

H i p é r b o l e

Exercícios de Livros Relacionados

A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 + 2 x y - 8 = 0
Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. x 2 + y 2 + 4 x y
Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos. 6 . 4 x y + 3 x 2 = 4
Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos. 7 . x 2 + 2 x y + y 2 - 8 x + 8 y = 0
Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico. 4 x 2 + 6 x y - 4 y 2 + 20 x - 20 y - 19 = 0