Esboçar o gráfico da cônica de equação

Como vimos na teoria, devemos começar montando a equação matricial da equação dada. Para isso, vamos primeiro retirar os valores das contantes e .

Da equação temos:

Vamos então colocar esses valores na equação matricial:

Nossa equação ficará:

Agora que temos nossa equação matricial conseguimos achar nossa matriz , que é:

Próximo passo é calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!!

Bora calcular os autovalores da matriz .

Sempre usando a relação

Resolvendo o determinante:

Temos os valores:

Já temos os autovalores!! Agora, é encontrarmos os autovetores para cada autovalor.

Para , vamos supor que o autovetor é e devemos respeitar que:

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

Poderíamos ter escolhiso a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!

Então, sabendo a relação e chutando , temos . Assim, nosso autovetor é:

Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma que é

Então untário é:

Agora, vamos calcular o autovetor para

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

Então, sabendo a relação e chutando , temos . Assim, nosso autovetor é:

Mas, ele não é unitário. Falta divifirmos por sua norma que é

Então untário é:

Agora que temos os autovalores e os autovetores podemos montar as matrizes e .

Montando :

Como foi montada de forma que a primeira linha é o autovalor , então a primeira coluna da matriz deve ser o autovetor relacionado ao autovalor , ou seja, .

Já temos tudo o que precisamos para montar nossa expressão matricial final:

CUIDADO: na expressão acima quando temos [D E], o se refere ao valor que encontramos lá no início do exercício e não a matriz .

Montando com nossos valores teremos:

Fazendo a distributiva, temos:

Rearranjando para ficar na forma um pouco mais parecida com a forma canônica da parábola:

Chegamos na expressão de uma parábola. Sendo que a relação entre e é:

Teremos:

Como queremos um esboço, vamos analisar primeiro a matriz que nos dá o quanto o eixo girou. Como sabemos que:

Temos que:

Então, nosso eixo estará da seguinte forma:

Além disso, nossa parábola possui uma translação em relação ao eixo , tal que:

Vamos achar o centro de . Para isso, sabemos que o centro de é

Para esboçar temos que lembrar da teoria do tópico 1 que vimos dois casos principais para a parábola, quando ela estava no eixo ou no eixo . A expressão que obtemos da parábola indica que estamos no CASO 2 da nossa teoria de parábolas.

Realmente, plotando com um software, obtemos:

As contas nessa foram mais tranquilas!! Hehe