Esboçar o gráfico da cônica de equação
Passo 1
O problema pede para esboçarmos o gráfico da cônica com expressão dada acima. Porém, como podemos notar a expressão possui o termo , o que indica que a cônica está rotacionada. Logo, teremos que desenvolver o método mostrado na teoria para descobrirmos qual é essa cônica e como ela está posicionada.
Passo 2
Como vimos na teoria, devemos começar montando a equação matricial da equação dada. Para isso, vamos primeiro retirar os valores das contantes e .
Da equação temos:
Vamos então colcoar esses valores na equação matricial:
Nossa equação ficará:
Agora que temos nossa equação matricial conseguimos achar nossa matriz , que é:
Próximo passo é calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!!
Passo 3
Bora calcular os autovalores da matriz .
Sempre usando a relação
Resolvendo o determinante:
Resolvendo a equação de segunda grau temos:
Passo 4
Já temos os autovalores!! Agora, é encontrarmos os autovetores para cada autovalor.
Para , vamos supor que o autovetor é e devemos respeitar que:
Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:
Poderíamos ter escolhido a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!
Então, sabendo a relação e chutando , temos . Assim, nosso autovetor é:
Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma (módulo) que é .
Então untário é:
Agora, vamos calcular o autovetor para
Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:
Poderíamos ter escolhiso a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!
Então, sabendo a relação e chutando , temos . Assim, nosso autovetor é:
Mas, ele não é unitário. Falta divifirmos por sua norma que é
Então untário é:
Passo 5
Agora que temos os autovalores e os autovetores podemos montar as matrizes e .
Montando :
Como foi montada de forma que a primeira linha é o autovalor , então a primeira coluna da matriz deve ser o autovetor relacionado ao autovalor , ou seja, .
Já temos tudo o que precisamos para montar nossa expressão matricial final:
CUIDADO: na expressão acima quando temos [D E], o se refere ao valor que encontramos lá no início do exercício e não a matriz .
Montando com nosso valores teremos:
Fazendo a distributiva, temos:
Vamos completar quadrados:
Dividindo tudo por
Chegamos na expressão de uma elipse. Sendo que a relação entre e é:
Teremos:
Como queremos um esboço, vamos analisar primeiro a matriz que nos dá o quanto o eixo girou. Como sabemos que:
Temos que:
Então, nosso eixo estará da seguinte forma:
Além disso, nossa elipse possui uma translação em relação ao eixo , tal que:
A gente consegue ver isso pela equação que a gente achou antes, que era:
Basta fazer uma mudança de variáveis, indo de x’y’ para x’’y’’.
Vamos achar o centro de . Para isso, sabemos que o centro de é .
Esboçando teríamos algo do tipo:
Essa foi mais chatinha!! Mas, deu certo!!
Resposta
Esboço:
