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Exercícios Resolvidos de Curvas Compostas

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Exercício 1112345678910

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 7e

Calcule

∫ γ x 2 d x + x d y + z d z

Sendo γ a intersecção das superfícies z = x 2 9 e z = 1 - y 2 4 , orientada de modo que sua projeção no plano O x y seja percorrida uma vez no sentido anti horário.

Passo 1

Olá meu amigo, tudo bem? Yuri aqui e agora iremos resolver essa querida atividade. Para isso iremos primeiro olhar quem é o nosso caminho

γ

x 2 9 = 1 - y 2 4

x 2 9 + y 2 4 = 1

Temos então uma elipse. Vamos partir para a parametrização dela para que possamos dar continuidade na resolução.

Passo 2

x 3 = cos ⁡ t

y 2 = sin ⁡ t

E

z = cos 2 ⁡ t

Agora então podemos começar a montar e calcular nossa integral.

∫ 0 2 π ( 9 cos 2 ⁡ t ) - 3 sin ⁡ t + 3 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t - sin ⁡ 2 t d t  

Vamos dividir para conquistar, calcularemos cada integral individualmente

Passo 3

∫ 0 2 π ( 9 cos 2 ⁡ t ) - 3 sin ⁡ t d t

Se chamarmos de

u = cos ⁡ t

d u d t = - sin ⁡ t

Calculando os novos limites

u = cos ⁡ 2 π

u = 1

u = cos ⁡ 0

u = 1

Temos então

∫ 1 1 27 u 2 d u

27 3 u 3 ​ 1 1

= 0

Passo 4

Agora vamos para

∫ 0 2 π 3 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t d t

6 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t

6 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t

3 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t d t

3 t + 1 2 sin ⁡ 2 t 0 2 π

3 2 π + 1 2 sin ⁡ 4 π - 3 0 + 1 2 sin ⁡ 0

6 π

Passo 5

E por ultimo

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t - sin ⁡ 2 t d t

- ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t sin ⁡ 2 t d t

Aplicando integração por partes

- 1 2 - cos 2 ⁡ t cos ⁡ 2 t - 2 ∫ sin ⁡ 4 t 4 d t 0 2 π

Para

∫ sin ⁡ 4 t 4 d t

1 4 ∫ sin ⁡ 4 t d t

- 1 16 cos ⁡ 4 t

Voltando para a integral inicial

- 1 2 - cos 2 ⁡ t cos ⁡ 2 t + 2 1 16 cos ⁡ 4 t 0 2 π

- 1 2 - cos 2 ⁡ 2 π cos ⁡ 4 π + 2 1 16 cos ⁡ 8 π 0 2 π + - 1 2 - cos 2 ⁡ 0 cos ⁡ 0 + 2 1 16 cos ⁡ 0 0 2 π

= 0

Somando tudo isso encontramos então

6 π

Resposta

6 π

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