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Exercícios Resolvidos de Curvas Compostas

Ver Teoria
Exercício 9123456781011

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 7f

Calcule

∫ γ y 2 d x + 3 z d y

Sendo γ a intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 e z = 2 x + 4 y , orientada de modo que sua projeção no plano O x y seja percorrida uma vez no sentido anti horário.

Passo 1

Olá pessoal, Yuri aqui e agora iremos calcular essa querida integral, antes de começar a pensar em um plano para calcula-la, vamos descobrir quem é

γ

x 2 + y 2 = 2 x + 4 y

x 2 - 2 x + y 2 - 4 y = 0

x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 4 y + 4 = 1 + 4

x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 4 y + 4 = 5

x - 1 2 + y - 2 2 = 5

Passo 2

Agora iremos parametrizar a circunferência

x - 1 = 5 cos ⁡ t

y - 2 = 5 sin ⁡ t

E

z = 2 5 cos ⁡ t + 1 + 4 5 sin ⁡ t + 2

Como queremos no sentido anti horário iremos ler o nosso círculo trigonométrico aqui de 0 a 2 π

Os diferenciais d x , d y e d z são encontrados a partir da derivada em ambos os lados da nossa parametrização

Agora então é hora de juntar tudo na integral e calcular

Passo 3

∫ 0 2 π ( 2 + 5 sin ⁡ t ) ² - 5 sin ⁡ t + 3   2 5 cos ⁡ t + 1 + 4 5 sin ⁡ t + 2 5 cos ⁡ t d t

Ficou bem grande nossa integral, então o melhor a fazer é simplificar ao máximo e calcular cada parte individualmente,

∫ 0 2 π ( 4 + 4 5 sin ⁡ t + 5 sin 2 ⁡ t ) - 5 sin ⁡ t + 3   2 5 cos ⁡ t + 1 + 4 5 sin ⁡ t + 2 5 cos ⁡ t d t

∫ 0 2 π ( - 4 5 sin ⁡ t - 20 sin 2 ⁡ t - 5 5 sin 3 ⁡ t ) + 3   2 5 cos ⁡ t + 1 + 4 5 sin ⁡ t + 2 5 cos ⁡ t d t

∫ 0 2 π ( - 4 5 sin ⁡ t - 20 sin 2 ⁡ t - 5 5 sin 3 ⁡ t ) + 3   10 cos 2 ⁡ t + 2 5 cos ⁡ t + 20 sin ⁡ t cos ⁡ t + 8 5 cos ⁡ t d t

∫ 0 2 π ( - 4 5 sin ⁡ t - 20 sin 2 ⁡ t - 5 5 sin 3 ⁡ t ) +   3 0 cos 2 ⁡ t + 6 5 cos ⁡ t + 6 0 sin ⁡ t cos ⁡ t + 24 5 cos ⁡ t d t

Passo 4

Para

∫ 0 2 π - 4 5 sin ⁡ t d t

4 5 ∫ 0 2 π - sin ⁡ t d t

4 5 cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 0

= 0

Agora vamos para

∫ 0 2 π ( - 20 sin 2 ⁡ t ) d t

- 20 ∫ 0 2 π ( sin 2 ⁡ t ) d t

- 20 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 t 2 d t

- 10 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 t d t

- 10 θ - 1 4 sin ⁡ 2 t 0 2 π

- 10 2 π - 0 - 0 - 0

- 20 π

Continuando nossa integração

∫ 0 2 π 5 5 sin 3 ⁡ t d t

5 5 ∫ 0 2 π sin 3 ⁡ t d t

A integral dessa forma do seno pode ser encontrada com uma formula de recorrência

∫ sin n ⁡ t d t = - 1 n sin n - 1 ⁡ t cos ⁡ t + n - 1 n ∫ sin n - 2 ⁡ t d t

Então

5 5 ∫ 0 2 π sin 3 ⁡ t d t = 5 5 - 1 3 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t + 2 3 ∫ 0 2 π sin ⁡ t d t 0 2 π

5 5 - 1 3 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t + 2 3 - cos ⁡ 2 π + cos ⁡ 0 0 2 π

5 5 - 1 3 sin 2 ⁡ 2 π cos ⁡ 2 π + - 1 3 sin 2 ⁡ 0 cos ⁡ 0 0 2 π

= 0

Continuando nossa labuta

∫ 0 2 π 30 cos 2 ⁡ t d t

30 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t

30 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t

30 2 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t d t

15 2 π + ( - sin ⁡ 4 π + sin ⁡ 0 )

30 π

E calculando mais uma integral meu amigo

∫ 0 2 π 6 5 cos ⁡ t

6 5 sin ⁡ 2 π - 6 5 sin ⁡ 0

0

E vamos para a próxima meu nobre, não se perca

∫ 0 2 π 60 sin ⁡ t cos ⁡ t + 24 5 cos ⁡ t d t

∫ 0 2 π 30 sin ⁡ 2 t + 24 5 cos ⁡ t d t

Já sabemos do passo anterior que a integral do cosseno aqui sera zeo, então

30 ∫ 0 2 π sin ⁡ 2 t

30 2 cos ⁡ 4 π - cos ⁡ 0

0

Somando tudo temos

= 10 π

Resposta

= 10 π

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