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Exercícios Resolvidos de Curvas Compostas

Ver Teoria
Exercício 7123456891011

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 8a

Calcule

∫ γ 2 x d x + z 2 - y 2 2 d z , onde γ é o arco circular dado por x = 0 , y 2 + z 2 = 4 , de 0,2 , 0 a ( 0,0 , 2 ) no sentido anti-horário.

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora iremos dar inicio a resolução desta atividade. Iremos primeiramente encontrar uma parametrização adequada para esse problema e posteriormente iremos montar e calcular a integral.

y = 2 sin ⁡ t

z = 2 cos ⁡ t

x = 0

Agora nos resta descobrir quem é t

2 = 2 sin ⁡ t

t = π 2

E indo para

2 = 2 cos ⁡ t

1 = cos ⁡ t

t = 0

Passo 2

Agora podemos montar e calcular nossa integral em paz

∫ π 2 0 0 + 4 cos 2 ⁡ t - 4 sin 2 ⁡ t 2 - 2 sin ⁡ t d t

∫ π 2 0 4 cos 2 ⁡ t - 4 sin 2 ⁡ t 2 - 2 sin ⁡ t d t

∫ π 2 0 4 cos 2 ⁡ t - 2 sin ⁡ t + 4 sin 3 ⁡ t d t

Vamos dividir pra conquistar

- 8 ∫ π 2 0 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t d t

Chamando

u = cos ⁡ t

d u d t = - sin ⁡ t

- 8 ∫ π 2 0 u 2 sin ⁡ t - sin ⁡ t d u

Os novos limites de integração

u = cos ⁡ 0

u = 1

u = cos ⁡ π 2

u = 0

8 �� 0 1 u 2 d u

8 3 u 3

8 3

Passo 3

Agora para

∫ π 2 0 4 sin 3 ⁡ t d t

Para esse caso vamos utilizar uma identidade trigonométrica

4 ∫ π 2 0 1 - cos 2   ⁡ t sin ⁡ t d t

Substituindo

cos ⁡ t = u

- sin ⁡ t = d u d t

4 ∫ π 2 0 1 - u 2 sin ⁡ t - sin ⁡ t d t

E agora encontrando os novos limites

cos ⁡ 0 = u

u = 1

cos ⁡ π 2 = u

u = 0

4 ∫ 0 1 ( 1 - u 2 ) d u

4 u - u 3 3 0 1

4 1 - 1 3

4 3 - 1 3

- 8 3

Agora somando os resultados que obtivemos

= 0

Resposta

= 0

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