16) Calcule as seguintes integrais:
f)
onde é a fronteira da região entre as circunferências e , orientada positivamente.
Passo 1
Bem, perceba que nesse problema o enunciado não nos disse como essa integral de linha deve ser feita, porém... Repare que o campo que estamos trabalhando
ele é chato e além disso a curva é composta por outras duas.
Isso é uma sugestão que devemos utilizar o teorema de Green para matar o problema, mas para você ter certeza se é Green ou não, calculemos
As derivadas parciais são...
logo
De fato é muito simples essa subtração nos indicando que de fato estamos lidando com Green
Passo 2
O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:
Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:
1º - Uma curva fechada delimitando a região .
2º - A curva , orientada positivamente.
3º - Um campo sem singularidades onde estamos trabalhando.
Vamos averiguar?
Passo 3
1º - Precisamos de uma curva fechada e delimitando uma região . Ora, a curva , pelo próprio enunciado, é a curva composta por essas duas circunferências (uma de raio e outras de raio ):
Onde a região é justamente esse anel:
2º - E mais, ela está orientada positivamente sim!!! Pois a curva de fora gira no sentido anti-horário e a de dentro no sentido contrário (foi uma exigência do enunciado )
3º - O campo que estamos trabalhando...
nem tem singularidade :D!
Passo 4
Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:
Se queremos a integral de linha, calculemos a integral dupla e beijinho no ombro ;)
Substituindo...
Para calcular essa integral dupla, devemos descrever a região . Como estamos dentro de um anel circular, nada mais justo que pensarmos nas coordenadas polares:
e uma equação que ajuda é...
Passo 5
Para encontrar os limites das variáveis olhemos para a região novamente:
Perceba que o raio está saindo da circunferência menor e indo até o da maior...
O ângulo varia uma volta completa:
Passo 6
Retornando a integral dupla que encontramos por Green...
e substituindo tudo pelas novas coordenadas (cuidado para não esquecer o Jacobino):
Calculando essa integral dupla considerando na de dentro o cosseno como constante...