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Exercícios Resolvidos de Curvas Compostas

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Exercício 1234567891011

Enunciado

Seja

F → x , y = y - 1 x 2 + y - 1 2 - y , - x x 2 + y - 1 2 ,   x , y ≠ 0,1

Calcule a integral de linha do campo F → ao longo de C 1 e C 2 , orientadas no sentido anti-horário, onde

C 1 : x 2 + y - 1 2 = 1

C 2 : x 2 + y 2 = 16

Passo 1

Vamos começar achando a integral de linha de C 1 , para isso precisamos parametrizar C 1 , como C 1 é uma circunferência de centro 0,1 e raio 1 vamos ter

σ 1 = 1 cos ⁡ θ , 1 sen ⁡ θ + 1

σ 1 = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ + 1

Com θ ∈ 0,2 π

Passo 2

Precisamos agora da derivada dessa parametrização

σ 1 ' = - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ

Passo 3

A integral vai ficar

∫ C 1 F → ∙ d r = ∫ 0 2 π sen ⁡ θ + 1 - 1 cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ + 1 - 1 2 - sen ⁡ θ + 1 , - cos ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ + 1 - 1 2 ∙ - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ + 1 , - cos ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 ∙ - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π sen ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ + 1 , - cos ⁡ θ 1 ∙ - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π sen ⁡ θ - sen ⁡ θ - 1 , - cos ⁡ θ ∙ - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π - 1 , - cos ⁡ θ ∙ - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π sen ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

⇒ ∫ 0 2 π sen ⁡ θ - 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

⇒ ∫ 0 2 π sen ⁡ θ - 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

⇒ - cos ⁡ θ - θ 2 - sen ⁡ 2 θ 4 θ = 0 θ = 2 π

⇒ - cos ⁡ 2 π - 2 π 2 - sen ⁡ 2 ∙ 2 π 4 - - cos ⁡ 0 - 0 2 - sen ⁡ 2 ∙ 0 4

⇒ - 1 - π - sen ⁡ 4 π 4 - - 1 - 0 - sen ⁡ 0 4

⇒ - 1 - π - 0 - - 1 - 0 - 0

⇒ - 1 - π + 1

⇒ - π

Passo 4

Vamos ver agora a integral de C 2 , repara que antes conseguimos fazer direto porque na função F → aparece a equação de x 2 + y - 1 2 dessa vez não vai aparecer se tentarmos fazer na “marra” vai aparecer uma integral surrealmente louca. Vamos marotamente usar o teorema de Green agora, mas temos um problema, a função F → não está definida em 0,1 , vamos colocar a região para o teorema de Green sendo a região de fronteira C onde C = C 1 ∪ C 2 assim tiramos o nosso problema, o detalhe que vamos ter

∫ C   F → ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Dessa vez vamos ter

∫ C   F → ⋅ d r = - ∫ C 1   F → ⋅ d r + ∫ C 2   F → ⋅ d r

Eu coloquei esse – porque a orientação da curva C 1 deve ser ao contrário agora, porque elas devem rodar em sentidos contrários, ou seja, C 1 deve ser horário, e o que achamos no passo 3 foi no sentido anti-horário.

Então

- ∫ C 1   F → ⋅ d r + ∫ C 2   F → ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

∫ C 2   F → ⋅ d r = ∫ C 1   F → ⋅ d r + ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Passo 5

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x - x x 2 + y - 1 2 =

= - x 2 + y - 1 2 - - x ( 2 x ) x 2 + y - 1 2 2 =

= - x 2 - y - 1 2 + 2 x 2 x 2 + y - 1 2 2

= x 2 - y - 1 2 x 2 + y - 1 2 2

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y y - 1 x 2 + y - 1 2 - y =

= x 2 + y - 1 2 - y - 1 2 y - 1 x 2 + y - 1 2 2 - 1 =

= x 2 + y - 1 2 - 2 y - 1 2 x 2 + y - 1 2 2 - 1

= x 2 - y - 1 2 x 2 + y - 1 2 2 - 1

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

Passo 6

Aplicando o teorema de Green, temos:

∫ C 2   F → ⋅ d r - ∫ C 1   F → ⋅ d r = ∬ D   1 d x d y = Á r e a D

A área de D é a área da circunferência de raio 4 menos a área da circunferência de raio 1 . Então:

∬ D   d x d y = π × 4 2 ⏟ área do círculo de raio 4    - π × 1 2 ⏟ área do círculo de raio 1 = 16 π - π = 15 π

Passo 7

A integral de linha vai ficar

∫ C 2   F → ⋅ d r = ∫ C 1   F → ⋅ d r + ∬ D   1 d x d y

∫ C 2   F → ⋅ d r = - π + 15 π

∫ C 2   F → ⋅ d r = 14 π

Resposta

  1. ∫ C 1 F → ∙ d r = - π
  2. ∫ C 2   F → ⋅ d r = 14 π

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