Exercícios Resolvidos de Desempenho de Aletas

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Enunciado

(Adaptada) A intensidade na qual a condição na extremidade afeta o desempenho térmico de uma aleta depende da geometria da aleta e de sua condutividade térmica, assim como do coeficiente convectivo.

Considere uma aleta retangular de uma liga de alumínio k = 180   W / m K , com comprimento L = 10   m m , espessura t = 1   m m e largura w ≫ t .

A temperatura da base da aleta é T b = 100 ° C e ela está exposta a uma fluido com temperatura T ∞ = 25 ° C .

Supondo um coeficiente convectivo uniforme h = 100   W / m 2 K sobre toda a superfície da aleta, determine a taxa de transferência de calor na aleta por unidade de largura q a ' , a eficiência η a , a efetividade ε a , a resistência térmica por unidade de largura R t , a ' e a temperatura da extremidade T L para os Casos A , B   e   D da tabela abaixo.

Contraste os resultados com aqueles para aproximação de aleta infinita.

Passo 1

Show de bola! O problema está pedindo pra calcularmos algumas coisas, certo? Então vamos organizar todas as equações que precisamos aqui, beleza?

η a = q a h . A a . θ b = q a h . 2 L w + w t . θ b = q a h . w 2 L + t . θ b

η a = q a ' h . 2 L + t . θ b

ε a = q a h . A c , b . θ b = q a h . w t . θ b

ε a = q a ' h . t . θ b

R a ' = θ b q a '

Onde q a ' = q a / w é a transferência de calor na aleta por unidade de largura.

O nosso trabalho então vai ser, para cada caso, determinar q a ' (pela tabela) e calcular o restante dos valores, beleza?

Passo 2

Antes de continuarmos, vamos nos antecipar aqui e calcular logo alguns parâmetros que vão aparecer nos próximos passos.

M = h p A c k T b - T ∞

Onde p = 2 w + t ≅ 2 w e A c = w t , logo:

M = h p A c k T b - T ∞ = 2 h w 2 t k × T b - T ∞

M = w 2 × 100 × 0,001 × 180 × 100 - 25 → M = 450 w

m = h p k A c = 2 h k t = 2 × 100 180 × 0,001 → m = 33,3

m L = 33,3 × 0,01 → m L = 0,333

h m k = 100 33,3 × 180 → h m k = 0,0167

Para m L = 33,3 :

cosh ⁡ m L = 1,057

sinh ⁡ m L = 0,340

Agora estamos prontos pra seguir em frente!

Passo 3

Caso A

Pela tabela:

q a ' = M w sinh ⁡ m L + h / m k cosh ⁡ m L cosh ⁡ m L + h / m k sinh ⁡ m L = 450 w w × 0,340 + 0,0167 × 1,057 1,057 + 0,0167 × 0,340

q a ' = 151   W / m

η a = q a ' h . 2 L + t . θ b = 151 100 × 2 × 0,01 + 0,001 × 100 - 25

η a = 0,96

ε a = q a ' h . t . θ b = 151 100 × 0,001 × 100 - 25

ε a = 20,2

R a ' = θ b q a ' = 100 - 25 151

R a ' = 0,50   m K / W

Nesse caso, também precisamos calcular a temperatura da aleta quando x = L . Então, partindo de:

θ θ b =   cosh ⁡ m L - x + h m k s e n h   m ( L - x ) cosh ⁡ m L + h m k s e n h   m L

Simplificando, pois x = L :

θ θ b = 1 + 0 cosh ⁡ m L + h m k s e n h   m L

Substituindo θ θ b :

T - T ∞ T b - T ∞ = 1 cosh ⁡ m L + h m k s e n h   m L

Substituindo demais valores:

T - 25 100 - 25 = 1 1,057 + 0,0167 x 0,340

Passo 4

Caso B

Pela tabela:

q a ' = M w tanh ⁡ m L = M w sinh ⁡ m L cosh ⁡ m L = 450 w w × 0,340 1,057

q a ' = 144   W / m

η a = q a ' h . 2 L + t . θ b = 144   100 × 2 × 0,01 + 0,001 × 100 - 25

η a = 0,92

ε a = q a ' h . t . θ b = 144 100 × 0,001 × 100 - 25

ε a = 19,2

R a ' = θ b q a ' = 100 - 25 144

R a ' = 0,52   m K / W

Nesse caso, também precisamos calcular a temperatura da aleta quando x = L . Então, partindo de:

θ θ b =   cosh ⁡ m L - x cosh ⁡ m L

Substituindo:

T - 25 100 - 25 = 1 1,057

Passo 5

Caso D

Pela tabela:

q a ' = M w = 450 w w

q a ' = 450   W / m

No caso de uma aleta infinita, L → ∞ , logo:

η a = q a ' h . 2 L + t . θ b = 450 ∞

η a = 0,0

ε a = q a ' h . t . θ b = 450 100 × 0,001 × 100 - 25

ε a = 60

R a ' = θ b q a ' = 100 - 25 450

R a ' = 0,167 m K W

Para aleta infinita, pela tabela, θ ( L ) = 0 . Dessa forma, T = T ∞ = 25   ° C

Resposta

Caso A

q a ' = 151   W / m

η a = 0,96

ε a = 20,2

R a ' = 0,50   m K / W

Caso B

q a ' = 144   W / m

η a = 0,92

ε a = 19,2

R a ' = 0,52   m K / W

Caso D

q a ' = 450   W / m

η a = 0,0

ε a = 60

R a ' = 0,167   m K / W

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