Exercícios Resolvidos de Diagonalização de Operadores Complexos

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Enunciado

Passo 1

Precisamos analisar uma relação de A 6 e A 5 com A . Sabemos que 2 i é autovalor de A de multiplicidade 2 , já que possui 2 autovetores linearmente independentes, logo - 2 i também será autovalor de multiplicidade 2 . Podemos então dizer que existe uma matriz M tal que:

A = M 2 i 0 0 0 0 2 i 0 0 0 0 - 2 i 0 0 0 0 - 2 i M - 1

Passo 2

Temos então que:

A 5 = A = M 2 i 0 0 0 0 2 i 0 0 0 0 - 2 i 0 0 0 0 - 2 i 5 M - 1

A 5 = M 2 i 5 0 0 0 0 2 i 5 0 0 0 0 - 2 i 5 0 0 0 0 - 2 i 5 M - 1

A 5   = M 32 i 0 0 0 0 32 i 0 0 0 0 - 32 i 0 0 0 0 - 32 i M - 1 = 16 M 2 i 0 0 0 0 2 i 0 0 0 0 - 2 i 0 0 0 0 - 2 i M - 1 = 16 A

A 5 = 16 A

Passo 3

Temos também que:

A 6 = M 2 i 0 0 0 0 2 i 0 0 0 0 - 2 i 0 0 0 0 - 2 i 6 M - 1

A 6 = M 2 i 6 0 0 0 0 2 i 6 0 0 0 0 - 2 i 6 0 0 0 0 - 2 i 6 M - 1

A 6 = M - 64 0 0 0 0 - 64 0 0 0 0 - 64 0 0 0 0 - 64 M - 1 = - 64 M I M - 1

A 6 = - 64 M M - 1 = - 64 I

Resposta

a   A 64 = - 64 I

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