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Exercícios Resolvidos de Diagonalização de Operadores Complexos

Ver Teoria
Exercício 812345679

Enunciado

Passo 1

Aqui temos uma típica questão de V ou F teórica. Geralmente as afirmações são independentes, e pelo menos não temos que fazer muitas contas haha.

Passo 2

Afirmação ( I ) :

Vamos lembrar que achamos os autovalores resolvendo o polinômio característico det ⁡ A - λ I . Lembramos também que se um polinômio tem coeficientes reais, se λ é raiz λ - também será. Mas, aqui ninguém disse nada sobre coeficientes reais. Então, por exemplo se:

A ∈ M 1 C ,   A = ( i )

Teremos autovalor λ = i , mas λ - não é autovalor.

A afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação ( I I ) :

Aqui, diferente da questão anterior, eles nos dizem que existe uma base B tal que T B só possui números reais. Vimos que nessa situação, se λ é autovalor de T , então λ - também é autovalor de T , com a mesma multiplicidade.

Então, a afirmação ( I I ) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação ( I I I ) :

Nesse tipo de item, a gente tem que sentir que tá errado haha. È meio complicado mas é só pegar o jeito, ai pra garantir que estamos certos, a gente procura um contra-exemplo:

Vamos considerar T : C 2 → C ² tal que:

T x , y = ( x - y , y - x )

T c a n = 1 - 1 - 1 1

Mas:

T i , i = i - i , i - i = ( 0,0 )

Logo:

ker ⁡ T ⊄ R ²

Logo a afirmação ( I I I ) é falsa

Resposta

( b ) Apenas a afirmação ( I I ) é verdadeira.

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