Considere o espaço vetorial vetorial complexo e seja um operador linear tal que . Considere também as seguintes afirmações:
- Se é é um autovalor real de então a multiplicidade algébrica de é igual a 2;
- Se tem um autovalor complexo não real então é diagonalizável;
- Se é uma matriz simétrica então todos os autovalores de T são reais.
Assinale a alternativa correta:
- Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
- Apenas a afirmação (III) é verdadeira;
- Apenas a afirmação (II) é verdadeira;
- Todas as afirmações são verdadeiras;
- Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Passo 1
Vamos analisar as afirmações sobre um operador , tal que .
Nós já vimos algumas propriedades desses operadores certo?
Passo 2
Afirmação :
Essa é fácil: podemos ter com multiplicidade 4. Logo é falsa a afirmação.
Passo 3
Afirmação :
Se , temos 0 como autovalor de multiplicidade algébrica e geométrica 2. Logo se tivermos um autovalor teremos também o autovalor , e portanto o operador será diagonálizavel, já que a soma das multiplicidades geométricas será 4.
Passo 4
Afirmação :
Essa a gente mostra com o Teorema Espectral. Já que , tudo acontece como se não estivéssemos trabalhando com complexos, e estaremos dentro das condições do Teorema Espectral.
Resposta
Apenas as afirmações e são verdadeiras