Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Função Vetorial

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Enunciado

Seja C a interseção das superfícies dadas por x 2 + 5 y 2 + z 2 = 7 e 5 x 3 + y 2 - z 2 = 5 . Qual dos seguintes pontos pertence à reta tangente a C em ( 1,1 , 1 ) ?

Escolha uma opção:

A ( 2,10,2 )

B ( - 24,34 , - 146 )

C ( 1 , - 1,1 )

D ( - 23,35 , - 145 )

E ( 15,2 , - 2 )

Passo 1

Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Considerando essas superfícies que a questão nos dá:

x 2 + 5 y 2 + z 2 = 7

e

5 x 3 + y 2 - z 2 = 5

Temos um C que é igual a:

C = f - 1 0 ∩ g - 1 0 .

A direção tangente a C é a do vetor ∇ f 1,1 , 1 × ∇ g 1,1 , 1 = ( - 24,34 , - 146 ) dando a reta tangente r : x , y , z = 1,1 , 1 + λ - 24,34 , - 146 ,   λ ϵ R .

Para a condição de λ = 1 (tangencia) temos então o ponto ( - 23,35 , - 145 )

Resposta correta:

( - 23,35 , - 145 )

Temos essa imagem:

Passo 2

Showzinho. Logo, corrigindo essa afirmativa, vamos reescrever ela assim:

Se ( 0,0 ) é um ponto crítico de f tal que d 2 f d 2 x 0,0 > 0   e d 2 f d 2 y 0,0 > 0 , então g x = f x , x satisfaz g ' ' 0 > 0 . Ou seja, garantindo só uma coordenada.

Portanto ela é falsa!

Resposta

F a l s a

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